2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系 2

第二章平面解析几何初步2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．能准确求出所给点的空间坐标．2．能利用空间中两点间的距离公式解决空间中的距离问题.1．空间直角坐标系(1)定义：以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴，y轴，z轴，这时就说建立了空间直角坐标系O－xyz，其中点O叫做坐标______，x轴，y轴，z轴叫做________．通过每两个________的平面叫做坐标平面，分别称为______平面，_______平面，______平面．(2)画法：在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°.xOyyOzzOx原点坐标轴坐标轴(3)坐标：设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z，那么点M就和有序实数组(x，y，z)是__________的关系，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作___________，其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z叫做点M的________．M(x，y，z)一一对应横坐标纵坐标竖坐标(4)说明：本书建立的坐标系都是____手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向____轴的正方向，食指指向____轴的正方向，如果中指指向____轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．xyz右2．空间两点的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝|AB|＝______________________________.特别地，点A(x，y，z)到原点O的距离公式为d(O，A)＝|OA|＝________________.x2－x12＋y2－y12＋z2－z12x2＋y2＋z21．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)答案：C2．已知点A(－3,1,5)与B(4,3,1)，则AB的中点坐标是()A．72，1，－2B．12，2，3C．(－12,3,5)D．13，43，2答案：B3．点P(2,3,1)，Q(1,2，－3)，则|PQ|＝________.解析：|PQ|＝2－12＋3－22＋1＋32＝32.答案：32典例精析规律总结课堂互动探究1求空间点的坐标类型在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．【分析】要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标．【解】建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为0，0，12.由F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝12，FN＝12，故F点坐标为12，12，0.点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝34，故G点坐标为0，34，0.由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK＝12，CK＝18.∴DK＝78.故H点坐标为0，78，12.【知识点拨】空间特殊点的坐标原点坐标为(0,0,0)；x轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中x为任意实数；y轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中y为任意实数；z轴上的点的坐标为(0,0，z)，其中z为任意实数；xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，其中x，y为任意实数；yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，其中y，z为任意实数；xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，其中x，z为任意实数．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点坐标为()A．12，1，1B．1，12，1C．1，1，12D．12，12，1答案：C2空间中点的对称问题类型(1)点(2,3,4)关于xOz平面的对称点为()A．(2,3，－4)B．(－2,3,4)C．(2，－3,4)D．(－2，－3,4)(2)在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,5,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为________．【解析】(1)点(2,3,4)关于xOz平面的对称点的横坐标与竖坐标不变，纵坐标互为相反数，故选C．(2)点M关于y轴的对称点坐标为M′(－4,5，－6)，而M′在坐标平面xOz上的射影为(－4,0，－6)．【答案】(1)C(2)(－4,0，－6)【知识点拨】几种特殊的对称点的坐标求对称点的问题常常可用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法．关于xOy平面的对称点，横、纵坐标都不变，竖坐标变成原来的相反数．在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)的几种特殊的对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．空间点(1，－2，3)关于xOy平面的对称点坐标是________．答案：(1，－2，－3)3空间两点间的距离类型(1)在空间直角坐标系中，已知P(2,2,5)，Q(5,4，z)两点之间的距离为7，则z＝________；(2)在z轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C的坐标为________．【解析】(1)由空间两点的距离公式得2－52＋2－42＋5－z2＝7.解得z＝－1或z＝11.(2)设C点坐标为(0,0，z)，则由|CA|＝|CB|得42＋12＋(z－7)2＝32＋52＋(z＋2)2，解得z＝149，∴C0，0，149.【答案】(1)11或－1(2)0，0，149在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析：设M(0，b,0)，则12＋b2＋22＝12＋b＋32＋12，解得b＝－1.∴M(0，－1,0)．答案：M(0，－1,0)4空间直角坐标系的应用类型如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：AP⊥PB1.(用坐标法)【分析】可建立空间直角坐标系，求出A，P，B1三点坐标及|AP|，|PB1|，|AB1|，利用勾股定理证明|AP|2＋|PB1|2＝|AB1|2即可．【证明】如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P12，12，1，连接AB1，由两点间的距离公式可得：|AP|＝1－122＋0－122＋0－12＝62，|PB1|＝12－12＋12－12＋1－12＝22，|AB1|＝1－12＋0－12＋0－12＝2，因为|AP|2＋|PB1|2＝|AB1|2，所以AP⊥PB1.【知识点拨】解此类题目的关键有两个(1)建立合理的坐标系，这样才能使运算操作简捷易行；(2)把空间的立体几何问题转化为平面几何问题，转化为直角三角形中的勾股定理的应用，即构建直角三角形．正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0a2)．(1)求MN的长；(2)求a为何值时，MN的长最小．解：(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直．∴以B为原点，以BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M22a，0，1－22a，N22a，22a，0.∴|MN|＝22a－22a2＋0－22a2＋1－22a－02＝a2－2a＋1＝a－222＋12.(2)当a＝22时，|MN|最短，为22，此时，M，N恰为AC，BF的中点．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一空间中点的对称问题1．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3,4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案：B知识点二空间中点的坐标2．点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于()A．14B．13C．23D．11答案：B3．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝13|BD′|，则P点的坐标为()A．13，13，13B．23，23，23C．13，23，13D．23，23，13解析：P点在面ABCD内的射影为P′，则由|BP|＝13|BD′|，可知|BP′|＝13|BD|，∴P′23，23，0∴P点的坐标为23，23，13，故选D．答案：D知识点三空间两点间的距离4．在x轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点的坐标为()A．(－2,0,0)B．(－3,0,0)C．(3,0,0)D．(2,0,0)解析：设x轴上点为(a,0,0)，则a＋42＋12＋72＝a－32＋52＋－22，∴a＝－2，故选A．答案：A5．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：|MA|＝9＋4＋0＝13，正方体的棱长为a，∴3a2＝(213)2，a＝2393.答案：2393