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数学第四章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质第2课时三角函数的图象与性质(二)01核心考点深度剖析02高效演练分层突破三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)(1)函数f(x)=2cos2x-π4-1是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y=2sin(ωx+θ)(0<θ<π)为偶函数,其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x1,x2,|x2-x1|的最小值为π,则()A.ω=2,θ=π2B.ω=12,θ=π2C.ω=12,θ=π4D.ω=2,θ=π4【解析】(1)因为f(x)=2cos2x-π4-1=cos2x-π4=cos2x-π2=sin2x.所以T=2π2=π,f(x)=sin2x是奇函数.故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.(2)因为函数y=2sin(ωx+θ)的最大值为2,且其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为x1,x2,|x2-x1|的最小值为π,所以函数y=2sin(ωx+θ)的最小正周期是π.由2πω=π得ω=2.因为函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数,所以θ=π2+kπ,k∈Z.又0<θ<π,所以θ=π2,故选A.【答案】(1)A(2)A(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ)(ω0),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为2πω,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为πω求解.1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=sin2x+π2B.y=cos2x+π2C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx解析:选B.y=sin2x+π2=cos2x是偶函数,不符合题意;y=cos2x+π2=-sin2x是T=π的奇函数,符合题意;同理C,D均不是奇函数.2.(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)=sinωx+φ-π4ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在0,π2上单调递增B.f(x)在-π2,π2上单调递减C.f(x)在0,π2上单调递减D.f(x)在-π2,π2上单调递增解析:选A.f(x)=sinωx+φ-π4,因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,所以f(x)=sin2x+φ-π4.f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,所以φ-π4=kπ+π2(k∈Z),所以φ=kπ+3π4(k∈Z).因为|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f(x)=-cos2x,所以f(x)在0,π2上单调递增,在-π2,0上单调递减,故选A.三角函数的对称性(师生共研)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=π3对称,它的最小正周期为π,则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.π3,1B.π12,0C.5π12,0D.-π12,0【解析】由题意可得2πω=π,所以ω=2,可得f(x)=Asin(2x+φ),再由函数图象关于直线x=π3对称,故fπ3=Asin2π3+φ=±A,故可取φ=-π6.故函数f(x)=Asin2x-π6,令2x-π6=kπ,k∈Z,可得x=kπ2+π12,k∈Z,故函数的对称中心为kπ2+π12,0,k∈Z.所以函数f(x)图象的一个对称中心是π12,0.【答案】B三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路:函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴和对称中心可结合y=sinx图象的对称轴和对称中心求解.(2)方法:利用整体代换的方法求解,令ωx+φ=kπ+π2,k∈Z,解得x=(2k+1)π-2φ2ω,k∈Z,即对称轴方程;令ωx+φ=kπ,k∈Z,解得x=kπ-φω,k∈Z,即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ),可以利用类似方法求解(注意y=Atan(ωx+φ)的图象无对称轴).1.(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=()A.2B.32C.1D.12解析:选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T=2πω=2×(3π4-π4)=π,解得ω=2,选A.2.已知函数f(x)=|sinx||cosx|,则下列说法错误的是()A.f(x)的图象关于直线x=π2对称B.f(x)的周期为π2C.(π,0)是f(x)的一个对称中心D.f(x)在区间π4,π2上单调递减解析:选A.f(x)=|sinx||cosx|=|sinxcosx|=12·|sin2x|,则fπ2=12|sinπ|=0,则f(x)的图象不关于直线x=π2对称,故A错误;函数周期T=12×2π2=π2,故B正确;f(π)=12|sin2π|=0,则(π,0)是f(x)的一个对称中心,故C正确;当x∈π4,π2时,2x∈π2,π,此时sin2x>0,且sin2x为减函数,故D正确.三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)已知函数f(x)=sin(2π-x)·sin3π2-x-3cos2x+3.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)当x∈0,7π12时,求f(x)的最小值和最大值.【解】(1)由题意,得f(x)=(-sinx)(-cosx)-3cos2x+3=sinxcosx-3cos2x+3=12sin2x-32(cos2x+1)+3=12sin2x-32cos2x+32=sin2x-π3+32,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π;令2x-π3=kπ+π2(k∈Z),则x=kπ2+5π12(k∈Z),故所求图象的对称轴方程为x=kπ2+5π12(k∈Z).(2)当0≤x≤7π12时,-π3≤2x-π3≤5π6,由函数图象(图略)可知,-32≤sin2x-π3≤1,即0≤sin(2x-π3)+32≤2+32.故f(x)的最小值为0,最大值为2+32.解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y=f(x)化为y=asinx+bcosx的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.已知函数f(x)=2sin2x-π4.(1)求函数的最大值及相应的x值的集合;(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心.解:(1)当sin2x-π4=1时,2x-π4=2kπ+π2,k∈Z,即x=kπ+3π8,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为xx=3π8+kπ,k∈Z.(2)由2x-π4=π2+kπ,k∈Z,得x=3π8+12kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴方程为x=3π8+12kπ,k∈Z.由2x-π4=kπ,k∈Z得x=π8+12kπ,k∈Z,即对称中心为π8+12kπ,0,k∈Z.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
本文标题:2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质 第2课时 三角
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