广东省增城市第一中学2016届高三数学1月月考试题

2015-2016学年度上学期高三数学1月月考卷一、选择题1．如果32()(0)fxaxbxca导函数图像的顶点坐标为(1,3)，那么曲线()yfx上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A．25[,]36B．5[0,][,)26C．25[0,)[,]236D．2[0,][,)232．（2015•山东模拟）已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（）A．B．2C．或2D．或3．[2012·湖南高考]函数f(x)＝sinx－cos(x＋6)的值域为()A.[－2,2]B.[－3，3]C.[－1,1]D.[－32，32]4．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）A．x-2y-1=0B．x-2y+1=0C．2x+y-2=0D．x+2y-1=05．已知向量(,3)ak，(1,4)b，(2,1)c，且(23)abc，则实数k＝（）A．92B．152C．3D．06．一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为（）A．3B．4C．5D．67．（2012•河北模拟）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A.eB.﹣eC.D.﹣8．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥39．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，1212,,,AABB为椭圆顶点，2F为右焦点，延长12BF与22AB交于点P，若12BPA为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．52(,1)2B．52(0,)2C．51(0,)2D．51(,1)210．已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是35的直线的条数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题第3题图ODGCAEFBP11．设20lg0()30axxfxxtdtx„，若((1))1ff，则a12．已知函数f(x)的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为)(xf的保值区间．若xmxxgln)(的保值区间是[2，＋∞)，则m的值为________．13．设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．三、解答题14．如图,A是以BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点EG，是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BFEF；(2)求证:PA是O的切线；(3)若FGBF,且O的半径长为32,求BD和FG的长度.15．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别是12(1,0),(1,0)FF，直线l的方程是4x，点P是椭圆C上动点（不在x轴上），过点2F作直线2PF的垂线交直线l于点Q，当1PF垂直x轴时，点Q的坐标是(4,4)．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断点P运动时，直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论．16．某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．（1）写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．参考答案1．D试题分析：32()(0)fxaxbxca的导数为'2()32fxaxbx，因为其图像的顶点坐标为(1,3)，所以'2()32fxaxbx图象开口向上，最小值为-3，即tan3，任一点的切线的倾斜角的取值范围是2[0,][,)23，选D。考点：本题主要考查导数的几何意义，直线的倾斜角，二次函数的图象和性质，正切函数的性质。点评：小综合题，曲线在某点的导数，就是过该点的切线的斜率。2．C试题分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此即可求出离心率．解：∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是=2．则离心率为或2．故选C．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．3．B因为f(x)＝sinx－32cosx＋12sinx＝3(32sinx－12cosx)＝3sin(x－6)，所以函数f(x)的值域为[－3，3]．4．A试题分析：设与直线平行的直线方程为，将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A正确．考点：两直线平行．【方法点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．5．C试题分析：∵(,3)ak，(1,4)b，∴23(23,6)abk，∵(2,1)c，且(23)abc，∴(23)2(6)10k，即3k．考点：向量的运算．6．B试题分析：求出每个个体被抽到的概率，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，就等于该层应抽取的个体数．解：每个个体被抽到的概率等于=，32×=4，故选B．考点：分层抽样方法．7．C试题分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选C．点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．8．C结合图象可知，过焦点且斜率为33和－33的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形，且不难看出符合题意的正三角形有且仅有两个．9．D试题分析：如图所示21PAB为向量22AB与12BF的夹角，由题意得01222BFAB，将各点坐标代入得：02acb，又222cab，则022caca，化简得012ee，解得251e或251e，因为1,0e，所以1251e，选D．考点：1.向量的夹角；2.椭圆的离心率；3.转化思想．10．B11．12333003(1)0,(0)11atattdttaffaa12．ln2试题分析：∵g′（x）=110x＞，得x＞1，所以g（x）在（1，+∞）上为增函数，同理可得g（x）在01（，）上为减函数．又因为g（x）=x+m-lnx的保值区间是[2，+∞），则定义域为[2，+∞）所以函数g（x）在[2，）上单调递增，g（x）min=g（2）=2+m-ln2=2，所以m=ln2．故答案为：ln2．考点：利用导数研究函数的单调性．13．332设P(x0，x02)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－02xx＋12＋x02.代入y＝x2得x2＋02xx－12－x02＝0，即(x－x0)0012xxx＝0，所以点Q的坐标为2000011,22xxxx.从而PQ2＝00122xx2＋20114x2，令t＝4x02，则PQ2＝f(t)＝t＋3t＋21t＋3(t0)，则f′(t)＝2312ttt，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值332.14．(3)解：过点F作FHAD于点H．BDADFHAD∵，，FHBC∴∥．由(1)，知FBABAF，BFAF∴．由已知，有BFFG，AFFG∴，即AFG△是等腰三角形．FHAD∵，AHGH∴．DGAG∵，2DGHG∴，即12HGDG．90FHBDBFADFBD∵∥，∥，°，∴四边形BDHF是矩形，BDFH．FHBC∵∥，易证HFGDCG△∽△．FHFGHGCDCGDG∴，即12BDFGHGCDCGDG．O∵的半径长为32，62BC∴．1262BDBDBDCDBCBDBD∴．解得22BD．22BDFH∴．12FGHGCGDG∵，12FGCG∴．3CFFG∴．在RtFBC△中，3CFFG∵，BFFG，由勾股定理，得222CFBFBC．222(3)(62)FGFG∴．解得3FG（负值舍去）．3FG∴．15．（Ⅰ）22143xy；（Ⅱ）见解析试题分析：（Ⅰ）用待定系数法，由已知得1c，当1PFx轴时，点2(1,)bPa，由220FPFQ得2(2)(41)40ba222302320baaa,解得2a，3b，所以椭圆C的方程是22143xy；（Ⅱ）求出直线PQ的方程，联立椭圆方程看判别式的情况即可，设点00(,)Pxy，则2222220000003134123434xyxyyx，设点(4,)Qt，由220FPFQ得：00(1)(41)0xyt，所以003(1)xty，所以直线PQ的方程为：0000003(1)43(1)4xyyxxxyy，化简得：00143xxyy，代入椭圆方程得：22220000(43)2448160yxxxxy，化简得：220042403xxxy，判别式△220016(1)043xy，所以直线PQ与椭圆有一个公共点试题解析：（Ⅰ）由已知得1c，当1PFx轴时，点2(1,)bPa，由220FPFQ得2(2)(41)40ba222302320baaa,解得2a，3b，所以椭圆C的方程是22143xy。4分（Ⅱ）设点00(,)Pxy，则2222220000003134123434xyxyyx，设点(4,)Qt，由220FPFQ得：00(1)(41)0xyt，所以003(1)xty，6分所以直线PQ的方程为：0000003(1)43(1)4xyyxxxyy，即20000043(1)[3(1)]4xyyxyxx，即200000433(1)[33(1)]44xyyxxxx，化简得：00143xxyy，9分代入椭圆方程得：22220000(43)2448160yxxxxy，化简得：220042403xxxy，判别式△220016(1)043xy，所以直线PQ与椭圆有一个公共点。12分考点：椭圆方程、直线与椭圆的位置关系16．（1）12813852525x,xx,xQ；（2）每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元.试题分析：（1）看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数.（2）根据题意得到利润函数式为105xQxf，然后把函数xQ展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润.试题解析：（1）由函数图象可知：当85x时，2525xQ；当128x时，13xQ；所以得到分段函数12813852525x,xx,xQ.6分设月利润与商品每吨定价x的函数为xf，则根据题意得105xQxf，即