（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.1空间点、直线、平面之间的位置关系第八章立体几何KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断，题型主要以填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.四个公理、三个推论公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3：经过的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相.ZHISHISHULI两点不在同一条直线上平行2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类①分类：共面直线直线直线异面直线：不同在一个平面内，没有公共点任何②定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.平行相交(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).0，π2③定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.3.直线与平面的位置关系有、、________________三种情况.4.平面与平面的位置关系有、两种情况.锐角(或直角)直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行平行相交②范围：_______.1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线也可能平行或相交.2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.【概念方法微思考】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析√××123456(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()(5)没有公共点的两条直线是异面直线.()(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线.()√123456××题组二教材改编1234562.[P27习题T8]如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为_____.解析连结B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.60°3.[P28T12]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_________时，四边形EFGH为菱形；AC＝BD123456解析∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD.(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形.AC＝BD且AC⊥BD123456解析∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.题组三易错自纠1234564.用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面α内”为__________.P∉l，l⊂α5.已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是_____.(填序号)①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；③若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l；④若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.③123456解析①中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故①错误；②中，m与n也有可能平行，②错误；③中，根据线面平行的性质可知③正确；④中，若m∥n，根据线面垂直的判定可知④错误.6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为____.1234563解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一平面基本性质的应用师生共研例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合.(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∵在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面.(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.证明∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.例2已知空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD的中点.(1)求证：BC与AD是异面直线；题型二判断空间两直线的位置关系师生共研证明假设BC与AD不是异面直线，则BC与AD共面.不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α，所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾.所以BC与AD是异面直线.(2)求证：EG与FH相交.证明如图，连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形.又EG，FH是平行四边形EFGH的对角线，所以EG与FH相交.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)充分不必要解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为______.(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④题型三求两条异面直线所成的角(选讲)师生共研例3在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为____.易得A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，45解析如图，连结BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连结A1C1，由AB＝1，AA1＝2，故cos∠A1BC1＝A1B2＋BC21－A1C212×A1B×BC1＝45，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”，试求AA1AB的值.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角.跟踪训练3(1)(2018·全国Ⅱ改编)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为_____.解析如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，52则BE＝5，则tan∠EAB＝BEAB＝52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为52.(2)(2018·全国Ⅱ改编)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_____.355直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG立体几何中的线面位置关系(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；例如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥FA且BE＝12FA，G，H分别为FA，FD的中点.证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥AD且GH＝12AD.又BC∥AD且BC＝12AD，∴GH∥BC且GH＝BC，∴四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？∴BE∥FG且BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH.∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.解∵BE∥AF且BE＝12AF，G为FA的中点，素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.3课时作业PARTTHREE基础保分练1234567891011121314151641.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为____.解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.12345678910111213141516②2.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，下列表示正确的是___.(填序号)①A∈l，l∉α；②A∈l，l⊄α；③A⊂l，l⊄α；④A⊂l，l∉α.12345678910111213141516④3.给出下列命题：①四边形是平面图形；②有三个公共点的两个平面重合；③两两相交的三条直线必在同一平面内；④三角形必是平面图形.其中正确命题的序号为_____.解析由公理3知三角形必是平面图形.4.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为____.123456789101112131415164解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个.12345678910111213141516④5.(2018·江苏昆山中学质检)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是____.①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.解析如图所示