三角函数知识点及例题讲解

三角函数知识点1.特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin212223010－1624624cos23222110－10624624tan3313002-32+3cot3133002+32-32.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin）3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等），(2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin)。如(；(3)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等），.。（4）周期性：①sinyx、cosyx的最小正周期都是2；②()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T。如（5）单调性：sin2,222yxkkkZ在上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调递减，在2,22kkkZ上单调递增。特别提醒，别忘了kZ！(6)、形如sin()yAx的函数：1几个物理量：A―振幅；1fT―频率（周期的倒数）；x―相位；―初相；2函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如()sin()(0,0fxAxA，||)2的图象如图所示，则()fx＝_____（答：15()2sin()23fxx）；3函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，3,,,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。4函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：①函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移||个单位得sinyx的图象；②函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图象；③函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图象；④函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的图象。要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位，如（1）函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？23题图29YX-223（答：2sin(2)14yx向上平移1个单位得2sin(2)4yx的图象，再向左平移8个单位得2sin2yx的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sinyx的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象）；★★2.正、余弦定理：在ABC中有:①正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆半径）2sin2sin2sinaRAbRBcRCsin2sin2sin2aARbBRcCR注意变形应用②面积公式：111sinsinsin222ABCSabsCacBbcA③余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx函数性质图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴三角函数例题讲解例1已知角的终边上一点P（－3，m），且sinθ=24m，求cosθ与tanθ的值．分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．解由题意知r=3＋m2，则sinθ=mr=m3＋m2．又∵sinθ=24m，∴m3＋m2=24m．∴m=0，m=±5．当m=0时，cosθ=－1，tanθ=0；当m=5时，cosθ=－64，tanθ=－153；当m=－5时，cosθ=－64，tanθ=153．例2设θ是第二象限角，且满足｜sinθ2|=－sinθ2，θ2是哪个象限的角?解∵θ是第二象限角，∴2kπ+π2＜θ＜2kπ+3π2，k∈Z．∴kπ+π4＜θ2＜kπ+3π4，k∈Z．∴θ2是第一象限或第三象限角．①又∵｜sinθ2|=－sinθ2，∴sinθ2＜0.∴θ2是第三、第四象限的角．②由①、②知，θ2是第三象限角．第2课同角三角函数的关系及诱导公式【讲练平台】例1化简sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．解原式=（-sinα）tanα［-cot(α+π)］(-cosα)tan(π-α)=(-sinα)tanα(-cotα)(-cosα)(-tanα)=sinα·cosαsinαcosα=1．例2若sinθcosθ=18，θ∈(π4，π2)，求cosθ－sinθ的值．分析已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．解(cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－14=34．∵θ∈(π4，π2)，∴cosθ＜sinθ．∴cosθ－sinθ=－32．变式1条件同例，求cosθ+sinθ的值．变式2已知cosθ－sinθ=－32，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．例3已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．分析因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．解原式=cos2θ+sinθcosθ=cos2θ+sinθcosθcos2θ+sin2θ=1+tanθ1+tan2θ=25．第3课两角和与两角差的三角函数（一）例1已知sinα－sinβ=－13，cosα－cosβ=12，求cos(α－β)的值．分析由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．解∵sinα－sinβ=－13，①cosα－cosβ=12，②①2＋②2，得2－2cos(α－β)=1336．∴cos(α－β)=7259．例2求2cos10°-sin20°cos20°的值．分析式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解∵10°=30°－20°，∴原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°cos20°=3cos30°cos20°=3．点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例3已知：sin(α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)．分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．解∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα．若cos(α+β)≠0，cosα≠0，则3tan(α+β)=tanα．点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体第4课两角和与两角差的三角函数（二）【讲练平台】例1求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+3tan10°tan50°；(2)（3tan12°-3）csc12°4cos212°-2．(1)解原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+3tan10°tan50°=3．（2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．解原式=（3·sin12°cos12°－3）1sin12°2cos24°=24cos212sin312cos3=48sin21)12cos2312sin21(3224cos12cos12sin212cos312sin3=.3448sin)6012sin(34点评（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=22basin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．第5课三角函数的图象与性质（一）例1（1）函数y=xxsin21)tan1lg(的定义域为(2)若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足（C）A．α＞βB．α＜βC．α+β＜π2D．α+β＞π2分析（1）函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1(*)的解集，由于y=tanx的最小正周期为π，y=sinx的最小正周期为2π，所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出(－π2，3π2)上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为{x｜2kπ－π2＜x＜2kπ+π6，或2kπ+5π6＜x＜2kπ+5π4，k∈Z}．分析（2）sinα