（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 微专题九 立体几何中的动态

微专题九立体几何中的动态问题第八章立体几何与空间向量[解题策略]立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转.就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离.立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现.在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜.1.去掉枝蔓见本质——大道至简在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键.例1如图1，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为_______.图12＋22.极端位置巧分析——穷妙极巧在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案.例2在正四面体A－BCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是________.23，13.用法向量定平面——定海神针在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为π6，若空例3间有一条直线l与直线CC1所成的角为π4，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是________.π12，5π124.锁定垂面破翻折——独挡一面在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相关线或面的垂面，化空间为平面，则容易找到问题的核心.例4如图5，在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段BM上一个动点(异于两端点)，△ABD沿AD翻折至B1D⊥DC，点A在平面B1CD上的投影为点O，当点D在线段BM上运动时，以下说法错误的是A.线段NO为定长B.CO∈(1，2)C.∠AMO＋∠B1DA180°D.点O的轨迹是圆弧图5√5.觅得定值明轨迹——动中有静在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段.例5如图7，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是⊙O上的两个点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹是A.圆B.椭圆C.抛物线D.不是平面图形图7√6.构建函数求最值——以数解形在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型(规律)的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形.例6(2016·浙江)如图9，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外一点P和线段AC上一点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P－BCD的体积的最大值是____.图912总之，解立体几何动态问题的过程实质是数学建模的过程，是创新的过程.方程、函数和图形变换是基础，因此夯实基础是解决此类问题的关键.化整为零的思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等是解决立体几何动态问题的最佳策略.真正破解动态立体几何问题，需要整体把握动态变化过程，更需要深厚的空间想象之内功.如果说招式是术，那么内功就是修行，即不断积累知识与技巧、经验与经历.