（山西专版）2020年中考数学复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）第07课时 一元二次方程及其应

第7课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式图7-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法配方过程中,注意加上一个数的同时要减去这个数ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程根的判别式、根与系数的关系1.判别式与根的个数关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等-𝒃𝒂没有𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率(下降率)问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率时,有a(1-m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x题组一必会题对点演练1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是()A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠02.用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时,下列变形正确的为()A.(x+3)2=1B.(x-3)2=1C.(x+3)2=19D.(x-3)2=19AD3.方程x2-2x+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根C.没有实数根D.有两个不相等的实数根4.一元二次方程x2-16=0的根是.Cx1=-4,x2=45.某市A楼盘准备以每平方米10000元的价格对外销售,由于新政策出台,开发商对价格连续两次下调,决定以每平方米8100元的价格销售,平均每次下调的百分率为x,那么可列方程为.6.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=.10000(1-x)2=8100-2题组二易错题x1=1,x2=2【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.7.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是.[解析]∵关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,∴a≠0且22-4a×(-3)0,解得a-13且a≠0.8.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.[答案]a-13且a≠0考向一一元二次方程及其解法解:(1)这里a=1,b=-7,c=12.∵b2-4ac=(-7)2-4×1×12=10,∴x=7±12×1,∴x1=3,x2=4.例1用指定方法解方程x2-7x+12=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:解:(2)x2-7x+12=0,x2-7x=-12,x2-7x+722=-12+722,x-722=-12+494,x-722=14,x-72=±12,x1=3,x2=4.例1用指定方法解方程x2-7x+12=0.(2)配方法:解:(3)x2-7x+12=0,(x-3)(x-4)=0,∴x-3=0或x-4=0,∴x1=3,x2=4.例1用指定方法解方程x2-7x+12=0.(3)因式分解法:【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.解形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;如果一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则宜用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.|考向精练|1.[2019·山西8题]一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=5D2.[2016·山西17题]解方程:2(x-3)2=x2-9.解:解法一:原方程可化为2(x-3)2=(x+3)(x-3),2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,(x-3)(x-9)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.解法二:原方程可化为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.因此,原方程的根为x1=3,x2=9.3.[2013·山西20题]解方程:(2x-1)2=x(3x+2)-7.解:(2x-1)2=x(3x+2)-7,4x2-4x+1=3x2+2x-7,x2-6x=-8,(x-3)2=1,x-3=±1,x1=2,x2=4.考向二一元二次方程根的判别式解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18且m≠1.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(3)方程没有实数根.解:(2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m=0,m-1≠0,∴m=-18.将m=-18代入原方程,得-98x2-34x-18=0.解得x1=x2=-13.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;解:(3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0没有实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,m-1≠0,∴m-18.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(3)方程没有实数根.【方法点析】已知方程根的情况求字母系数的值或范围时,要注意两点:(1)若已知方程是一元二次方程,且二次项系数中含有字母时,不要忽视二次项系数不为0这个隐含条件;(2)若已知条件中没有明确说明是一次方程还是二次方程,应分类讨论.|考向精练|1.[2018·山西4题]下列一元二次方程中,没有实数根的是()A.x2-2x=0B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0D.3x2=5x-2C2.[2018·娄底]关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定[答案]A[解析]因为Δ=[-(k+3)]2-4k=k2+2k+9=(k+1)2+80,所以原方程有两个不相等的实数根.故选A.3.[2017·攀枝花]关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是()A.m≥0B.m0C.m≥0且m≠1D.m0且m≠1[答案]C[解析]∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,∴m-1≠0且Δ≥0,即m≠1且(-2)2-4×(m-1)×(-1)≥0,解得m≠1且m≥0,∴m的取值范围是m≥0且m≠1.故选C.[答案]2[解析]根据题意得Δ=4-4a(2-c)=0,整理得4ac-8a=-4,4a(c-2)=-4.∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程,∴a≠0,等式两边同时除以4a得c-2=-1𝑎,则1𝑎+c=2.4.[2019·连云港]已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1𝑎+c的值等于.考向三一元二次方程的应用例3山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?解:(1)设每千克核桃应降价x元.根据题意,得(60-x-40)100+𝑥2×20=2240.化简,得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.例3山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?解:(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客,∴每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元/千克),5460×10=9.答:该店应按原售价的九折出售.|考向精练|1.[2019·山西13题]如图7-2,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2,设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为.图7-2(12-x)(8-x)=772.[2014·山西22题]某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图7-3所示),问人行通道的宽度是多少米?图7-3解:(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2.根据题意得,46000-22000𝑥−46000-220001.5𝑥=4,解得x=2000,经检验,x=2000是原方程的解,且符合题意.答:该项绿化工程原计划每天完成2000米2.2.[2014·山西22题]某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图7-3所示),问人行通道的宽度是多少米?图7-3解:(2)设人行通道的宽度为y米.根据题意得,(20-3y)(8-2y)=56,解得y1=2,y2=263(不合题意,舍去).答:人行通道的宽度为2米.