【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-函数与导数-文

函数与导数B1函数及其表示图1－13．BP[2013·安徽卷]如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为()A.34B.16C.1112D.25243．C[解析]依次运算的结果是s＝12，n＝4；s＝12＋14，n＝6；s＝12＋14＋16，n＝8，此时输出s，故输出结果是12＋14＋16＝1112.14．B1，B14[2013·安徽卷]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．14．－x（x＋1）2[解析]当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由f(x＋1)＝2f(x)可得f(x)＝12f(x＋1)＝－12x(x＋1)．11．B1，E3[2013·安徽卷]函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．11．(0，1][解析]实数x满足1＋1x0且1－x2≥0.不等式1＋1x0，即x＋1x0，解得x0或x－1；不等式1－x2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．13．B1[2013·福建卷]已知函数f(x)＝2x3，x0，－tanx，0≤xπ2，则ffπ4＝________．13．－2[解析]fπ4＝－tanπ4＝－1，f(－1)＝－2.21．B1，B12[2013·江西卷]设函数f(x)＝1ax，0≤x≤a，11－a（1－x），ax≤1.a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝12时，求ff13；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间13，12上的最大值和最小值．21．解：(1)当a＝12时，f13＝23，ff13＝f23＝21－23＝23.(2)f(f(x))＝1a2x，0≤x≤a2，1a（1－a）（a－x），a2x≤a，1（1－a）2（x－a），axa2－a＋1，1a（1－a）（1－x），a2－a＋1≤x≤1.当0≤x≤a2时，由1a2x＝x解得x＝0，因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2x≤a时，由1a（1－a）(a－x)＝x解得x＝a－a2＋a＋1∈(a2，a)，因fa－a2＋a＋1＝1a·a－a2＋a＋1＝1－a2＋a＋1≠a－a2＋a＋1，故x＝a－a2＋a＋1为f(x)的二阶周期点；当axa2－a＋1时，由1（1－a）2(x－a)＝x解得x＝12－a∈(a，a2－a＋1)，因f12－a＝11－a·1－12－a＝12－a，故x＝12－a不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由1a（1－a）(1－x)＝x解得x＝1－a2＋a＋1∈(a2－a＋1，1)，因f1－a2＋a＋1＝1（1－a）·1－1－a2＋a＋1＝a－a2＋a＋1≠1－a2＋a＋1.故x＝1－a2＋a＋1为f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝a－a2＋a＋1，x2＝1－a2＋a＋1.(3)由(2)得Aa－a2＋a＋1，a－a2＋a＋1，B1－a2＋a＋1，1－a2＋a＋1，则S(a)＝12·a2（1－a）－a2＋a＋1，S′(a)＝12·a（a3－2a2－2a＋2）（－a2＋a＋1）2，因为a∈13，12，有a2＋a1.所以S′(a)＝12·a（a3－2a2－2a＋2）（－a2＋a＋1）2＝12·a[（a＋1）（a－1）2＋（1－a2－a）]（－a2＋a＋1）20.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3a－2－103a－2＋103，因a∈(0，1)，g′(a)0，则g(a)在区间13，12上的最小值为g12＝580，故对于任意a∈13，12，g(a)＝a3－2a2－2a＋20，S′(a)＝12·a（a3－2a2－2a＋2）（－a2＋a＋1）20)则S(a)在区间13，12上单调递增，故S(a)在区间13，12上的最小值为S13＝133，最大值为S12＝120.12．B1[2013·辽宁卷]已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()A．a2－2a－16B．a2＋2a－16C．－16D．1612．C[解析]由题意知当f(x)＝g(x)时，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，整理得x2－2ax＋a2－4＝0，所以x＝a＋2或x＝a－2，H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝x2－2（a＋2）x＋a2（x≤a－2），－x2＋2（a－2）x－a2＋8，（a－2xa＋2），x2－2（a＋2）x＋a2（x≥a＋2），H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8（x≤a－2）x2－2（a＋2）x＋a2，（a－2xa＋2）－x2＋2（a－2）x－a2＋8（x≥a＋2）.由图形可知(图略)，A＝H1(x)min＝－4a－4，B＝H2(x)max＝12－4a，则A－B＝－16，故选C.7．B1[2013·辽宁卷]已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋flg12＝()A．－1B．0C．1D．27．D[解析]由已知条件可知，f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1＋ln(1＋9（－x）2＋3x)＋1＝2，而lg2＋lg12＝lg2－lg2＝0，故而f(lg2)＋flg12＝2.图1－919．B1，I2[2013·新课标全国卷Ⅱ]经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．19．解：(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X＜130，65000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.5．B1[2013·山东卷]函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3，0]B．(－3，1]C．(－∞，－3)∪(－3，0]D．(－∞，－3)∪(－3，1]5．A[解析]要使函数有意义，须有1－2x≥0，x＋30，解之得－3x≤0.20．H4，E8，B1[2013·四川卷]已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n表示为m的函数．20．解：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4，得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×120，得k23.所以，k的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2＝(1＋k2)x21，|ON|2＝(1＋k2)x22.又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得2（1＋k2）m2＝1（1＋k2）x21＋1（1＋k2）x22，即2m2＝1x21＋1x22＝（x1＋x2）2－2x1x2x21x22.由(*)式可知，x1＋x2＝8k1＋k2，x1x2＝121＋k2，所以m2＝365k2－3.因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝nm，代入m2＝365k2－3中并化简，得5n2－3m2＝36.由m2＝365k2－3及k23，可知0m23，即m∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q在圆C内，则n0，所以n＝36＋3m25＝15m2＋1805.于是，n与m的函数关系为n＝15m2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))．11．B1[2013·浙江卷]已知函数f(x)＝x－1.若f(a)＝3，则实数a＝________．11．10[解析]f(a)＝a－1＝3.则a－1＝9，a＝10.3．B1[2013·重庆卷]函数y＝1log2（x－2）的定义域是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2，3)∪(3，＋∞)D．(2，4)∪(4，＋∞)3．C[解析]由题可知x－20，x－2≠1，所以x＞2且x≠3，故选C.B2反函数6．B2[2013·全国卷]函数f(x)＝log21＋1x(x0)的反函数f－1(x)＝()A.12x－1(x0)B.12x－1(x≠0)C．2x－1(x∈R)D．2x－1(x0)6．A[解析]令y＝log21＋1x，则y0，且1＋1x＝2y，解得x＝12y－1，交换x，y得f－1(x)＝12x－1(x0)．B3函数的单调性与最值13．B3[2013·北京卷]函数f(x)＝log12x，x≥1，2x，x1的值域为________．13．(－∞，2)[解析]函数y＝log12x在(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y＝log12x的值域为(－∞，0]；函数y＝2x在R上是增函数，当x1时，函数y＝2x的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．3．B4，B3[2013·北京卷]下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1xB．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|3．C[解析]对于A，y＝1x是奇函数，排除．对于B，y＝e－x既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D，y＝lg|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此时单调递增，排除．只有C符合题意．12．B3，B6[2013·新课标全国卷Ⅱ]若存在正数x使2x(x－a)1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)12．D[解析]由题意存在正数x使得ax－12x成立，即ax－12xmin.由于x－12x是(0，＋∞)上的增函数，故x－12x0－120＝－1，所以a－1.答案为D.11．B3，B5，B8，B12[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．C[解析]x→－∞时，f(x)0，x→＋∞时，f(x)0，又