【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-函数与导数-理

函数与导数B1函数及其表示21．B1，B12[2013·江西卷]已知函数f(x)＝a1－2x－12，a为常数且a0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x＝12对称；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．解：(1)证明：因为f12＋x＝a(1－2|x|)，f12－x＝a(1－2|x|)，有f12＋x＝f12－x，所以函数f(x)的图像关于直线x＝12对称．(2)当0a12时，有f(f(x))＝4a2x，x≤12，4a2（1－x），x12.所以f(f(x))＝x只有一个解x＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶周期点．当a＝12时，有f(f(x))＝x，x≤12，1－x，x12.所以f(f(x))＝x有解集x错误!x≤错误!，又当x≤错误!时f(x)＝x，故x错误!)x≤错误!中的所有点都不是二阶周期点．当a12时，有f(f(x))＝4a2x，x≤14a，2a－4a2x，14ax≤12，2a（1－2a）＋4a2x，12x≤4a－14a，4a2－4a2x，x4a－14a.所以f(f(x))＝x有四个解0，2a1＋4a2，2a1＋2a，4a21＋4a2，又f(0)＝0，f2a1＋2a＝2a1＋2a，f2a1＋4a2≠2a1＋4a2，f4a21＋4a2≠4a21＋4a2，故只有2a1＋4a2，4a21＋4a2是f(x)的二阶周期点．综上所述，所求a的取值范围为a12.(3)由(2)得x1＝2a1＋4a2，x2＝4a21＋4a2，因为x3为函数f(f(x))的最大值点，所以x3＝14a，或x3＝4a－14a.当x3＝14a时，S(a)＝2a－14（1＋4a2），求导得：S′(a)＝－2a－1＋22a－1－22（1＋4a2）2.所以当a∈12，1＋22时，S(a)单调递增，当a∈1＋22，＋∞时S(a)单调递减；当x3＝4a－14a时，S(a)＝8a2－6a＋14（1＋4a2），求导得：S′(a)＝12a2＋4a－32（1＋4a2）2；因a12，从而有S′(a)＝12a2＋4a－32（1＋4a2）20，所以当a∈12，＋∞时S(a)单调递增．13．B1，B11[2013·江西卷]设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．13．2[解析]f(ex)＝x＋ex，利用换元法可得f(x)＝lnx＋x，f′(x)＝1x＋1，所以f′(1)＝2.10．B1，B8[2013·江西卷]如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(0xπ)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图像大致是()图1－3图1－410．D[解析]设l，l2距离为t，cosx＝2t2－1，得t＝cosx＋12.△ABC的边长为23，BE23＝1－t1，得BE＝23(1－t)，则y＝2BE＋BC＝2×23(1－t)＋23＝23－433cosx＋12，当x∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A，B，求证x＝π2的情况可知选D.2．B1[2013·江西卷]函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0，1)B．[0，1)C．(0，1]D．[0，1]2．B[解析]x≥0且1－x0，得x∈[0，1)，故选B.11．B1[2013·辽宁卷]已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{}f（x），g（x），H2(x)＝min{}f（x），g（x）(max{}p，q表示p，q中的较大值，min{}p，q表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()A．16B．－16C．a2－2a－16D．a2＋2a－1611．B[解析]由题意知当f(x)＝g(x)时，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，整理得x2－2ax＋a2－4＝0，所以x＝a＋2或x＝a－2，所以H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝x2－2（a＋2）x＋a2（x≤a－2），－x2＋2（a－2）x－a2＋8（a－2xa＋2），x2－2（a＋2）x＋a2（x≥a＋2），H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8（x≤a－2），x2－2（a＋2）x＋a2（a－2xa＋2），－x2＋2（a－2）x－a2＋8（x≥a＋2）.由图形(图形略)可知，A＝H1(x)min＝－4a－4，B＝H2(x)max＝12－4a，则A－B＝－16.故选B.4．B1[2013·全国卷]已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1，1)B.－1，－12C．(－1，0)D.12，14．B[解析]对于f(2x＋1)，－12x＋10，解得－1x－12，即函数f(2x＋1)的定义域为－1，－12.8．B1，J3[2013·陕西卷]设函数f(x)＝x－1x6，x0，－x，x≥0，则当x0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．158．A[解析]由已知表达式可得：f[f(x)]＝1x－x6，展开式的通项为Tr＋1＝Cr61x6－r(－x)r＝Cr6·(－1)r·xr－3，令r－3＝0，可得r＝3，所以常数项为T4＝－C36＝－20.7．B1，B3，B12[2013·四川卷]函数y＝x33x－1的图像大致是()图1－57．C[解析]函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x0时，x30，3x－10，故y0，排除选项B；当x→＋∞时，y0且y→0，故为选项C中的图像．19．B1，I2，K6[2013·新课标全国卷Ⅱ]经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．图1－419．解：(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X130，65000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.B2反函数5．B2[2013·全国卷]函数f(x)＝log21＋1x(x0)的反函数f－1(x)＝()A.12x－1(x0)B.12x－1(x≠0)C．2x－1(x∈R)D．2x－1(x0)5．A[解析]令y＝log21＋1x，则y0，且1＋1x＝2y，解得x＝12y－1，交换x，y得f－1(x)＝12x－1(x0)．B3函数的单调性与最值21．B3，B9，B12[2013·四川卷]已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，x0，lnx，x0，其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．21．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.当x0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.因为x1x20，所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋20，2x2＋20.因此x2－x1＝12[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥[－（2x1＋2）]（2x2＋2）＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－32且x2＝－12时等号成立．所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.(3)当x1x20或x2x10时，f′(x1)≠f′(x2)，故x10x2.当x10时，函数f(x)的图像在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x21＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x21＋a.当x20时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－lnx2＝1x2(x－x2)，即y＝1x2·x＋lnx2－1.两切线重合的充要条件是1x2＝2x1＋2，①lnx2－1＝－x21＋a.②由①及x10x2，知－1x10.由①②得，a＝x21＋ln12x1＋2－1＝x21－ln(2x1＋2)－1.设h(x1)＝x21－ln(2x1＋2)－1(－1x10)，则h′(x1)＝2x1－1x1＋10.所以，h(x1)(－1x10)是减函数．则h(x1)h(0)＝－ln2－1，所以a－ln2－1.又当x1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，所以a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．10．B3，B12[2013·四川卷]设函数f(x)＝ex＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是()A．[1，e]B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]10．A[解析]因为y0＝sinx0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y0∈[－1，1]，如果f(y0)＝c＞y0，则f(f(y0))＝f(c)＞f(y0)＝c＞y0，不可能有f(f(y0))＝y0.同理，当f(y0)＝d＜y0时，则f(f(y0))＝f(d)＜f(y0)＝d＜y0，也不可能有f(f(y0))＝y0，因此必有f(y0)＝y0，即方程f(x)＝x在[－1，1]上有解，即ex＋x－a＝x在[－1，1]上有解．显然，当x＜0时，方程无解，即需要ex＋x－a＝x在[0，1