海南省三亚四中中学2016届高三数学模拟试题-文

2016届高三文科数学模拟试卷(一）第I卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合1Axx，集合BZ，则AB()A.0B.11AxxC.1,0,1D.1.解:集合111Axxxx，所以1,0,1AB，选C.2.设i是虚数单位，复数111izi在复平面上所表示的点为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.解:复数121111iziii.所对应的点为(1,1),在第四象限,选D.3.已知向量(,2)am，(4,2)bm，条件p://ab，条件q:2m，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.解:因为2//2802abmm，所以p是q的必要不充分条件，选B.4.函数1()cos23sincos2fxxxx的一个对称中心是()A.(,0)3B.(,0)6C.(,0)6D.(,0)124.解:函数113()cos23sincoscos2sin2sin(2)2226fxxxxxxx的对称中心的横坐标满足2,6xkkZ,即,212kxkZ,所以(,0)12是它的一个对称中心，选D.5.定义运算“*”为：(0)2(0)ababaaba,若函数()(1)fxxx，则该函数的图象大致是()5.解:21(1)(1)()(1)2(1)xxxxfxxxx,选D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()第8题图A.3(2)2B.3(4)3C.3(2)6D.3(2)36.解:由三视图可知该几何体是组合体，上方是底面圆半径为1、高为3的半个圆锥，下方是底面圆半径为1、高为2的圆柱，且圆柱的上底面与半圆锥的底面重合，所以该几何体的体积是11332(2)326，选C.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A.6B.8C.10D.157.解:该程序框图运行3次，各次S的值依次是3,6,10，所以输出的结果是10，选C.8.如图所示，为了测量某湖泊两侧,AB间的距离，李宁同学首先选定了与,AB不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（ABC的角,,ABC所对的边分别记为,,abc）：①测量,,ACb②测量,,abC③测量,,ABa则一定能确定,AB间距离的所有方案的个数为（）A.3B.2C.1D.08.解:根据图形可知，,ab可以测得，角,,ABC也可以测得，利用测量的数据，求解,AB两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的,AB两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定,AB两点间的距离，选A.9.已知0a，,xy满足约束条件13(3)xxyyax，若2zxy的最小值为32，则a()A.14B.12C.1D.29.解:如图,平移直线2yx经过直线1x与(3)yax的交点(1,2)Aa时,目标函数2zxy取得最小值,则321(2)2a,解得14a,选A.10.已知点(,)nnAna(nN)都在函数()logafxx(0a且1a)的图象上，则210aa与62a的大小关系为()A.21062aaaB.21062aaaC.21062aaaD.210aa与62a的大小与a有关10.解:由条件知lognaan，所以210log2log10log20aaaaa,622log6log36aaa,所以210aa与62a的大小与a有关,选D.11.若函数32()236fxxmxx在(2,)上为增函数，则实数m的取值范围是()A.(,2)B.(,2]C.5(,)2D.5(,]211.解:因为2()666fxxmx,令26660xmx，则1mxx，又因为1yxx在(2,)上为增函数，故当(2,)x时，152xx，故52m，选D.12.点P为双曲线221916xy的右支上一点，,MN分别是圆22(5)4xy和圆22(5)1xy上的点，则PMPN的最大值为()A.8B.9C.10D.712.解:易知两圆圆心分别为双曲线的左、右焦点12(5,0),(5,0)FF，点P是双曲线右支上一点，由双曲线定义可得1226PFPFa，当1,,PMF且2,,PNF共线时,PMPN有最大值,1122()()6219PMPNPFrPFr,即PMPN的最大值为9，选B.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.高三某学习小组对两个相关变量收集到6组数据如表：x102030405060y3928mn4341由最小二乘法得到回归直线方程0.8211.3yx，发现表中有两个数据模糊不清，则这两个数据的和是________.13.解:由表中数据可得102030405060356x，代入线性回归方程得0.823511.340y，39284341406mn,89mn.14.直三棱柱111ABCABC的顶点在同一个球面上，13,4,26ABACAA，90BAC，则球的表面积为________.14.解:取11,BCBC的中点分别是1,DD，则由三棱柱的性质可得其外接球的球心O在1DD的中点，设外接球的半径为R，则22222549()(6)24RADDO，故此球的表面积为2449SR.15.设抛物线24xy的焦点为F,经过点(1,4)P的直线l与抛物线相交于,AB两点,且点P恰为AB的中点,则AFBF.15.解:设1122(,),(,)AxyBxy,由题意知122xx,且错误!未找到引用源。,两式相减整理得212121142yyxxxx错误!未找到引用源。,所以直线AB的方程为14(1)2yx,即270xy,将27xy代入24xy整理得2432490yy,所以128yy,又由抛物线定义得12210AFBFyy.16观察下列等式：23(11)21,(21)(22)213,(31)(32)(33)2135,……,照此规律，第n个等式可为________________________．16.解:观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从1n到nn，等式右端是积式，第一项是2n，后面是等差数列21n的前n项的乘积，故第n个等式为(1)(2)()213(21)nnnnnn．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知等差数列na中，12a，公差3d；数列nb中，nS为其前n项和，满足212nnnS(nN).(1)记11nnncaa，求数列nc的前n项和nT；(2)求证:数列nb是等比数列；17.解:(1)因为12a,3d,所以1(1)23(1)35naandnn,则111111()(35)(32)33532nnncaannnn,所以11111111[(1)(1)()]()324353232322(32)nnTnnnn;(2)因为212nnnS,所以112nnS,1111(2)2nnSn,则111111111111()(2)2222222nnnnnnnnbSSn,当1n,11111122bS,满足上述通项公式，所以数列nb是以112b为首项,12q为公比的等比数列.18.(本小题满分12分)解放军某部在实兵演练对抗比赛中，红、蓝两个小组均派6人参加实弹射击，其所得成绩的茎叶图如图所示.(1)根据射击数据，计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差，并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定；(2)若从蓝军6名士兵中随机抽取两人，求所抽取的两人的成绩之差不超过2的概率．解:(1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙，则x－甲＝16(107＋111＋111＋113＋114＋122)＝113，x－乙＝16(108＋109＋110＋112＋115＋124)＝113，S2甲＝16[(107－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(113－113)2＋(114－113)2＋(122－113)2]＝21.S2乙＝16[(108－113)2＋(109－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(124－113)2]＝883.因为x－甲＝x－乙，S2甲S2乙，所以红军的射击成绩相对比较稳定．(2)从蓝军6名士兵中随机抽取两人，共有15种不同的取法，其成绩情况如下：(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)．设A表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过2”，则A的基本事件有4种：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)，故所求概率为P(A)＝415.19.(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE；(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．19.解:(1)∵PA⊥平面ABCD，∴VP－ABCD＝13S正方形ABCD·PA＝13×12×2＝23.即四棱锥P－ABCD的体积为23.(2)连接AC交BD于O，连接OE.∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．又∵E是PA的中点，∴PC∥OE.∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE.(3)不论点E在何位置，都有BD⊥CE.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵不论点E在何位置，都有CE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥CE.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点(1,0)且与直线x＝－1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)已知点A(5,0)，倾斜角为π4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．20.解:(1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y2＝4x.(2)由题意，可设l的方程为y＝x－m，其中0＜m＜5由方程组y＝x－my2＝4x，消去y，得x2－(2m＋4)x＋m2＝0①当0＜m＜5时，方程①的判别式Δ＝(2m＋4)2－4m2＝16(1＋m)＞0成立．设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1＋x2＝4＋2m，x1·x2＝m2，∴|MN|＝2|x1－x2|＝42＋2m又因为点A到直线l的距离为d＝5－m2∴S△AMN＝2(5－m)1＋m＝2m3－9m2＋15m＋25.令f(m)＝m3－9m2＋15m＋25，(0m5)，f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m－5)，(