2019-2020学年高中数学 第三章 函数 3.1.2 函数的单调性课件 新人教B版必修1

-1-3.1.2函数的单调性首页课标阐释思维脉络1.理解函数的单调性的概念.2.会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性.3.能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间.4.掌握函数单调性的一些简单应用.5.理解函数的平均变化率.课前篇自主预习一二三知识点一、函数单调性的概念1.思考(1)对于函数y=1𝑥,x∈(0,+∞),随着自变量x的增大,函数值y有何变化规律?函数y=1𝑥,x∈(-∞,0)的情况呢?提示:①对于函数y=1𝑥,x∈(0,+∞)任意取x∈(0,+∞),随着x取值的增大,函数值y是减小的;②对于y=1𝑥,x∈(-∞,0)任意取x∈(-∞,0),随着x取值的增大,函数值y也是减小的.(2)“函数y=1𝑥在区间(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数”是否正确?提示:不正确,函数y=1𝑥的单调区间不能取并集,应写为(-∞,0),(0,+∞)或(-∞,0)和(0,+∞).课前篇自主预习一二三(3)若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为“存在x1,x2”可以吗?提示:不可以,如图:虽然Δx=2-(-1)0,Δy=f(2)-f(-1)0,但f(x)在[-1,2]上并不是单调函数.因此“任意”两字不能忽视,更不能用“特殊”取代.为了方便也可将定义改为:如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,总有,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥20(0)课前篇自主预习一二三2.填空一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,且M⊆A.(1)如果对任意x1,x2∈M,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在M上是增函数(也称在M上单调递增),如图(1)所示.图(1)课前篇自主预习一二三(2)如果对任意x1,x2∈M,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减),如图(2)所示.如果一个函数在M上是增函数或是减函数,就说这个函数在M上具有单调性(当M为区间时,称M为函数的单调区间).图(2)课前篇自主预习一二三3.做一做已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是()答案:B课前篇自主预习一二三4.“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同?提示:不相同.函数f(x)的单调增(减)区间是D,这一说法意味着除D之外,函数f(x)再无其他单调增(减)区间.函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间,即除区间D外,函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间.课前篇自主预习一二三5.做一做已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间为.答案:-∞,-32,12,+∞课前篇自主预习一二三知识点二、判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x10;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断Δy的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).课前篇自主预习一二三知识点三、函数的平均变化率一般地,当x1≠x2时,称Δ𝑓Δ𝑥=𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)𝑥2-𝑥1为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)或[x2,x1](x1x2时)上的平均变化率.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用定义法证明(判断)函数的单调性例1利用单调性的定义证明函数在(-∞,0)内是增函数.分析:解题的关键是对Δy=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.证明设x1,x2是(-∞,0)内的任意两个值,且x1x2,则Δx=x2-x10,f(x)=1𝑥2Δy=f(x2)-f(x1)=1𝑥22−1𝑥12=𝑥12-𝑥22𝑥12·𝑥22=(𝑥1-𝑥2)(𝑥1+𝑥2)𝑥12·𝑥22=-Δ𝑥·(𝑥1+𝑥2)𝑥12·𝑥22,∵𝑥12·𝑥220,x1+x20,-Δx0,∴Δy0.∴函数f(x)=1𝑥2在(-∞,0)内是增函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟证明函数的单调性的步骤1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1x2(在证明函数的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正负号时,经常采用这种变形方法);3.定号:判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则;4.判断:根据定义作出结论(若Δx=x2-x1与Δy=f(x2)-f(x1)同号,则函数在给定区间是增函数;异号,则是减函数).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练已知函数f(x)=2𝑥-1𝑥+1.(1)求f(x)的定义域;(2)证明函数f(x)=2𝑥-1𝑥+1在[1,+∞)内是增函数.(1)解:由题意知x+1≠0,即x≠-1.所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).(2)证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1x2,则f(x2)-f(x1)=2𝑥2-1𝑥2+1−2𝑥1-1𝑥1+1=(2𝑥2-1)(𝑥1+1)-(2𝑥1-1)(𝑥2+1)(𝑥2+1)(𝑥1+1)=3(𝑥2-𝑥1)(𝑥2+1)(𝑥1+1).因为x1x2,所以x2-x10.又因为x1,x2∈[1,+∞),所以x2+10,x1+10,所以f(x2)-f(x1)0,所以函数f(x)=2𝑥-1𝑥+1在[1,+∞)内是增函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用图像求函数的单调区间例2已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图像,并结合图像写出函数的单调区间.分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图像求解即可.解:f(x)=x|x-2|=𝑥(𝑥-2),𝑥≥2,𝑥(2-𝑥),𝑥2,图像如下图所示.由图像可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟图像法求单调区间的关注点1.由函数的图像得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间或闭区间均可,但最好加上区间端点.2.初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论,在某些题目中可以直接使用.3.常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.4.加绝对值的函数图像的两种画法:(1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像.(2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函数的图像.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测函数单调性的简单应用例3(1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)已知函数g(x)在R上为增函数,且g(t)g(1-2t),求t的取值范围.分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,寻找对称轴与区间的位置关系求解;(2)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)∵f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,∴该二次函数图像的对称轴为x=1-a.∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a].∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.∴1-a≥4,解得a≤-3.(2)∵g(x)在R上为增函数,且g(t)g(1-2t),∴t1-2t.∴t13,即所求t的取值范围为13,+∞.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟根据单调性求参数的方法1.已知函数的单调性求参数范围,要注意数形结合,画出图像,往往解题很方便,同时要采取逆向思维求解;2.充分利用了函数的单调性,在单调区间内,变量与函数值之间的关系,将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究已知f(x)=-x3+ax在(0,1)内是增函数,求实数a的取值范围.解:设0x1x21,则x2-x10.因为f(x)在(0,1)内是增函数,所以f(x1)-f(x2)=(-𝑥13+ax1)-(-𝑥23+ax2)=(𝑥23−𝑥13)+a(x1-x2)=(x2-x1)(𝑥22+x1x2+𝑥12)-a(x2-x1)=(x2-x1)(𝑥22+x1x2+𝑥12-a)0,因为x2-x10,所以𝑥22+x1x2+𝑥12-a0,则a𝑥22+x1x2+𝑥12,又因为0x1x21,所以𝑥12+x1x2+𝑥223,所以a≥3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论思想在函数单调性中的应用典例讨论函数f(x)=(-1x1,a≠0)的单调性.思路点拨:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.𝑎𝑥𝑥2-1课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x1x2.∴当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时f(x)在(-1,1)内是增函数.综上所述,当a0时,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0时,函数f(x)在(-1,1)内是增函数.则f(x1)-f(x2)=𝑎𝑥1𝑥12-1−𝑎𝑥2𝑥22-1=𝑎(𝑥1𝑥2+1)(𝑥2-𝑥1)(𝑥12-1)(𝑥22-1).∵x1x2+10,x2-x10,𝑥12-10,𝑥22-10,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列函数在区间(-∞,0)内为增函数的是()A.f(x)=3-xB.f(x)=1𝑥-1C.f(x)=x2-2x-1D.f(x)=-|x|解析:设任意x1,x2∈(-∞,0),Δx=x2-x10,选项A中,Δy=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x20,所以该函数在区间(-∞,0)内为减函数;同理可判断选项B中和选项C中函数在区间(-∞,0)内为减函数,选项D中函数在区间(-∞,0)内为增函数.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.下列命题正确的是()A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数B.定义在(a,b)内的函数f(x