2019-2020学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数章末整合课件 新人教A版必修1

-1-章末整合知识网络系统构建专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五专题一指数与对数的运算问题例1计算下列各式的值:(1)23-2-(1-2)0-33823;(2)2log32-log3329+log38-3log35;(3)64-13−-3220+[(-2)-3]43+16-0.75.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)原式=322-1-27823=94-1-32323=94-1-322=94-1-94=-1.(2)原式=2log32-5log32+2+3log32-5=2-5=-3.(3)原式=(43)-13-1+(-2-3)43+(24)-34=4-1-1+2-4+2-3=14-1+116+18=-916.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五例2(1)若2a=5b=10,求1𝑎+1𝑏的值;(2)已知x+x-1=3,求𝑥12+𝑥-12,x2+x-2的值.分析:(1)利用指数式与对数式的互化和换底公式;(2)利用指数的运算性质和整体代入.解:(1)∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,∴1𝑎+1𝑏=lg2+lg5=1.(2)∵x+x-1=3,∴𝑥12+𝑥-122=x+x-1+2=5,∴𝑥12+𝑥-12=5,(x+x-1)2=x2+x-2+2=9.∴x2+x-2=7.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五归纳总结指数与对数的运算是指数、对数应用的前提,也是研究指数函数与对数函数的基础,不仅是本章考查的重点,也是高考的重要考点之一.进行指数式的运算时,要注意运算或化简的先后顺序,一般应将负指数转化为正指数、将根式转化为指数式后再计算或化简,同时注意幂的运算性质的应用;对数运算要注意对数运算性质的正用与逆用,注意对底数的转化、对数恒等式以及换底公式的灵活运用,还要注意对数运算与指数运算之间的关系及其合理地转化.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五变式训练1设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab0a+b答案:B解析:∵a=log0.20.30,b=log20.30,∴ab0.又a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)·lg2而lg2-10,2lg2-10,lg3-10,lg20,∴a+b0.𝑎+𝑏𝑎𝑏=1𝑏+1𝑎=log0.32+log0.30.2=log0.30.4log0.30.3=1.∴aba+b.故选B.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五专题二指数函数、对数函数的图象和性质应用例3函数y=ax-1𝑎(a0,且a≠1)的图象可能是()专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五解析:函数y=ax-1𝑎由函数y=ax的图象向下平移1𝑎个单位长度得到,A项显然错误;当a1时,01𝑎1,平移距离小于1,所以B项错误;当0a1时,1𝑎1,平移距离大于1,所以C项错误.故选D.答案:D专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五例4画出函数y=log4(x2-2x+1)的图象.分析:先要找出这个函数所对应的基本初等函数,然后利用图象变换向目标靠拢.解:先对函数解析式进行化简,可得y=log2|x-1|.可直接利用描点法画出y=log2x的图象,而后画出关于y轴的对称变换得到y=log2|x|,再将整个函数图象向右平移一个单位长度.过程如下:专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五例5若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围为()A.[1,2)B.[1,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)答案:A解析:令g(x)=x2-2ax+1+a,由题意,知𝑔(1)0,𝑎≥1,即2-𝑎0,𝑎≥1,解得1≤a2.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五归纳总结指数函数、对数函数及幂函数是重要的基本初等函数.它们的图象与性质始终是高考考查的重点.由于指数函数y=ax(a0,a≠1,x∈R),对数函数y=logax(a0,a≠1,x0)的图象与性质都与a的取值有密切联系,幂函数y=xα的图象与性质与α的取值有关,因此,在a,α的值不确定时,要对它们进行分类讨论,利用图象可以快捷、直观地解决比较大小、求根等计算烦琐问题.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五变式训练2函数f(x)=e𝑥-e-𝑥𝑥2的图象大致为()专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五解析:∵f(-x)=e-𝑥-e𝑥𝑥2=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=e10-1e101001,排除C、D,故选B.答案:B专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五变式训练3已知a=log2e,b=ln2,c=,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.cab解析:因为c==log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log23log2elog22=1,即ca1.因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增,且b=ln2,所以ln2lne=1,即b1.综上可知,cab.故选D.答案:Dlog1213log1213专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五专题三分类讨论思想在解题中的应用例6比较logx(2x)与logx(3-2x)的大小.解:要使函数logx(2x)与logx(3-2x)有意义,则2𝑥0,3-2𝑥0,𝑥0且𝑥≠1,解得0x32,且x≠1.logx(2x)-logx(3-2x)=logx2𝑥3-2𝑥,而u=2x-(3-2x)=4x-3,当0x34时,u0,即2x3-2x,∴logx(2x)logx(3-2x);专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五当x=34时,u=0,即2x=3-2x,∴logx(2x)=logx(3-2x);当34x1时,u0,即2x3-2x,∴logx(2x)logx(3-2x);当1x32时,u0,即2x3-2x,∴logx(2x)logx(3-2x).归纳总结分类讨论思想即对问题中的参数不能一概而论,需要按一定的标准进行分别阐述,在分类讨论中要做到“不重复,不遗漏”.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五变式训练4已知函数f(x)=loga(x+3)在区间[-2,-1]上总有|f(x)|2,求实数a的取值范围.解:当-2≤x≤-1时,有1≤x+3≤2,由|f(x)|2,∴-2f(x)2,即-2loga(x+3)2恒成立,若a1,0=loga1≤loga(x+3)≤loga2,此时有loga22,解得a2,若0a1,0=loga1≥loga(x+3)≥loga2,此时有loga2-2,解得0a22,综上:0a22或a2.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五专题四数形结合思想在解题中的应用例7若方程mx-x-m=0(m0,m≠1)有两个不同的实数解,则m的取值范围是()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(2,+∞)解析:方程mx-x-m=0有两个不同的实数解,即函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的公共点.显然,当m1时,两图象有两个不同的交点;当0m1时,两图象只有1个交点,故m的取值范围是(1,+∞).答案:A专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五归纳总结1.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致分为两种情形:借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,或者是借助于数的准确性和严密性来阐明形的某种属性.2.在解决数学问题时,如果把抽象的数学问题用图形加以刻画使其理解更直观,解答更快捷,但要注意形离开了数难入微,因此两者形影不离,相互补充.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五变式训练5设方程lgx+x=3的实数解为x0,则x0所在的一个区间是()A.(3,+∞)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)解析:由lgx+x=3得lgx=3-x.分别画出方程lgx=3-x两边对应的函数图象,如图所示.由图知它们的交点x0在区间(2,3)内.答案:B专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五专题五函数与方程的思想在解题中的应用例8设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一个零点,求实数a的取值范围.分析:先转化为f(-1)f(1)≤0,再结合函数的图象解不等式.解:因为函数f(x)在-1≤x≤1上存在一个零点,所以f(-1)f(1)≤0,即(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(a+1)(3a+1)≤0.令g(a)=(a+1)(3a+1)=0,得函数g(a)的两个零点是a1=-1,a2=-13.作出g(a)的大致图象,如图所示.由图象可知g(a)≤0时,可得a的取值范围是-1,-13.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五变式训练6已知f(x)=log2(4x+1)-kx,g(x)=f(x)-a.(1)当f(x)是偶函数时,求实数k的值;(2)设k=2,若函数g(x)存在零点,求实数a的取值范围.分析:(1)根据题意,由偶函数的性质可得f(x)-f(-x)=0,即[log2(4x+1)-kx]-[log2(4-x+1)+kx]=0,变形分析可得答案;(2)若k=2,则f(x)=log2(4x+1)-2x,由零点的定义分析可得方程f(x)=a有解,分析函数f(x)的值域可得答案.专题突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)根据题意,f(x)=log2(4x+1)-kx,若f(x)为偶函数,则f(x)-f(-x)=0,即[log2(4x+1)-kx]-[log2(4−𝑥+1)+kx]=0,变形可得:log24x=2kx,即2x=2kx,则k=1.(2)若k=2,则f(x)=log2(4x+1)-2x,若函数g(x)=f(x)-a存在零点,则方程f(x)=a有解,f(x)=log2(4x+1)-2x=log21+14𝑥,又由14𝑥0,则1+14𝑥1,则log21+14𝑥0,若方程f(x)=a有解,必有a0,即a的取值范围为(0,+∞).专题突破深化提升