2019-2020学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.2 平行线分线段成比例定理课

-1-二平行线分线段成比例定理XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.能利用平行线分线段成比例定理及其推论解决相关问题.平行线分线段成比例定理定理—应用推论—应用XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页121.平行线分线段成比例定理(1)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.(2)符号表示:如图所示,已知a∥b∥c,l1交a,b,c于点A,B,C,l2交a,b,c于点D,E,F,则𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹,𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐷𝐹,𝐵𝐶𝐴𝐶=𝐸𝐹𝐷𝐹.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做1如图,已知AB∥CD∥EF,则下列结论正确的是()A.𝐴𝐷𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐶𝐸B.𝐵𝐶𝐶𝐸=𝐷𝐹𝐴𝐷C.𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐵𝐶𝐵𝐸D.𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐴𝐷𝐴𝐹解析由平行线分线段成比例定理可知,只有𝐴𝐷𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐶𝐸成立.答案AXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页122.推论(1)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.(2)符号表示:如图①②③所示,若DE∥BC,则𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12做一做2如图所示,在△ACE中,B,D分别在AC,AE上,则下列推理不正确的是()解析由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A,B,C都是正确的,D是错误的.答案DA.BD∥CE⇒𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐷𝐶𝐸B.BD∥CE⇒𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐵𝐷𝐶𝐸C.BD∥CE⇒𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐷𝐸D.BD∥CE⇒𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐶𝐸XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页12思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)三条平行线只有截两条平行线,所得的线段才成比例.()(2)平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段可能相等.()(3)在△ABC中,若直线MN与BC平行,且分别与AB,AC相交于(4)平行于梯形两底的直线截两腰所得的对应线段成比例.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√M,N,则𝐴𝑀𝑀𝐵=𝑀𝑁𝐵𝐶.()XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究一证明线段成比例【例1】如图所示,已知直线FD与△ABC的BC边交于点D,与AC边交于点E,与BA的延长线交于点F,且BD=DC.求证:AE·FB=EC·FA.分析过点A作BC的平行线,构造平行线组,然后再利用平行线分线段成比例定理得到成比例的线段,最后转化为欲证线段乘积之间的关系.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明如图,过点A作AG∥BC交DF于点G.∵AG∥BD,∴𝐹𝐴𝐹𝐵=𝐴𝐺𝐵𝐷.又BD=DC,∴𝐹𝐴𝐹𝐵=𝐴𝐺𝐷𝐶.∵AG∥DC,∴𝐴𝐺𝐷𝐶=𝐴𝐸𝐸𝐶.∴𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐹𝐴𝐹𝐵,∴AE·FB=EC·FA.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1如图,已知AD是△ABC的内角平分线,求证:𝐵𝐷𝐷𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶.证明过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E,如图所示,则∠AEC=∠BAD,∠DAC=∠ACE.∵∠BAD=∠DAC,∴∠AEC=∠ACE,∴AC=AE.又由AD∥CE知𝐴𝐵𝐴𝐸=𝐵𝐷𝐷𝐶,故𝐵𝐷𝐷𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究二证明线段相等【例2】如图,在△ABC中,E为中线AD上的一点,,连接BE并延长,交AC于点F,求证:AF=CF.分析过点D作AC的平行线,由平行线分线段成比例定理构造成比例线段进行证明.𝐷𝐸𝐴𝐸=12XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析证明过点D作DH∥AC,交BF于点H,如图所示.∵D是BC的中点,∴𝐷𝐻𝐶𝐹=𝐵𝐷𝐵𝐶=12.∵𝐷𝐸𝐴𝐸=12,∴𝐷𝐸𝐴𝐸=𝐷𝐻𝐶𝐹.又DH∥AF,∴𝐷𝐻𝐴𝐹=𝐷𝐸𝐴𝐸=12.∴𝐷𝐻𝐴𝐹=𝐷𝐻𝐶𝐹,∴AF=CF.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD,求证:OE=OF.证明∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥AD∥BC.∴𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐷𝐶,𝑂𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵,𝑂𝐹𝐵𝐶=𝐷𝐹𝐷𝐶.∴𝑂𝐸𝐵𝐶=𝑂𝐹𝐵𝐶,∴OE=OF.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析探究三求线段的长度及其比值【例3】如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,若BC=3,DE=2,DF=1,求AB的长度.分析根据已知条件中的两组平行线得到线段比值相等,再结合已知线段长度求出AB的长度.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解𝐷𝐸∥𝐵𝐶,𝐸𝐹∥𝐶𝐷,𝐵𝐶=3,𝐷𝐸=2⇒𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐷=𝐷𝐸𝐵𝐶=23.又DF=1,故可解得AF=2,AD=3.又𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶=23,故AB=92.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图,将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A折叠至边CD上的点E,使DE=5,折痕为PQ,求的值.𝑃𝑀𝑀𝑄XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析解如图所示,过点M作MN∥AD交DC于点N,所以𝐷𝑁𝑁𝐸=𝐴𝑀𝑀𝐸.因为AM=ME,所以DN=NE=12DE=52.所以NC=NE+EC=52+7=192.又因为PD∥MN∥QC,所以𝑃𝑀𝑀𝑄=𝐷𝑁𝑁𝐶=52192=519.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析不注意对点与线段的位置分类讨论致误典例在△ABC中,直线DE与直线AB,AC分别交于点D,E,且DE∥BC.若AD=1,DB=2,则𝐷𝐸+𝐵𝐶𝐷𝐸=.错解D,E分别在边AB,AC上,则由DE∥BC知𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶=13,故𝐷𝐸+𝐵𝐶𝐷𝐸=1+3=4.答案4正解(1)同错解;(2)若D,E分别在BA,CA的延长线上,则由DE∥BC知𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶=11,故𝐷𝐸+𝐵𝐶𝐷𝐸=2.综上,𝐷𝐸+𝐵𝐶𝐷𝐸=4或2.答案4或2XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练如图,E是▱ABCD的边AB延长线上的一点,且𝐷𝐶𝐵𝐸=32,则𝐴𝐷𝐵𝐹=.解析因为BF∥AD,所以𝐴𝐷𝐵𝐹=𝐴𝐸𝐵𝐸.又𝐷𝐶𝐵𝐸=𝐴𝐵𝐵𝐸=32,所以𝐴𝐸𝐵𝐸=52,即𝐴𝐷𝐵𝐹=52.答案52XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123451.如图,l1∥l2∥l3,已知AB=6cm,BC=3cm,A1B1=4cm,则B1C1的长为()A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm解析由平行线分线段成比例定理可得𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴1𝐵1𝐵1𝐶1,所以63=4𝐵1𝐶1,解得B1C1=2cm.答案DXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123452.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若AD=3,BD=1,则𝐴𝐸𝐴𝐶等于()A.1B.3C.43D.34解析∵DE∥BC,∴𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐷+𝐵𝐷=33+1=34.答案DXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123453.如图所示,在△ABC中,DE∥AB,DF∥BC,下列结论不正确的是()A.𝐴𝐷𝐷𝐶=𝐴𝐹𝐷𝐸B.𝐶𝐸𝐶𝐵=𝐵𝐹𝐴𝐵C.𝐶𝐷𝐴𝐷=𝐶𝐸𝐷𝐹D.𝐴𝐹𝐵𝐹=𝐷𝐹𝐵𝐶解析由平行线分线段成比例定理可得𝐷𝐹𝐵𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐵≠𝐴𝐹𝐹𝐵,故选D.答案DXINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123454.如图,已知AB∥EF∥CD,若AB=4,CD=12,则EF=.解析∵AB∥CD∥EF,∴𝐴𝐵𝐸𝐹=𝐵𝐶𝐶𝐹,𝐵𝐶𝐵𝐹=𝐶𝐷𝐸𝐹,∴4𝐸𝐹=𝐵𝐶𝐵𝐶-𝐵𝐹,𝐵𝐶𝐵𝐹=12𝐸𝐹,∴4(BC-BF)=12BF,∴BC=4BF,∴𝐵𝐶𝐵𝐹=4=12𝐸𝐹,∴EF=3.答案3XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页123455.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,E为底边BC上的任意一点,过点E作与AD平行的直线,分别交直线AB,CA的延长线于点F,G.求证:𝐵𝐸𝐵𝐹=𝐶𝐸𝐶𝐺.证明∵EF∥AD,∴𝐵𝐸𝐵𝐹=𝐵𝐷𝐴𝐵.又AD平分∠BAC,∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐷𝐷𝐶,即𝐵𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐶𝐴𝐶,∴𝐵𝐸𝐵𝐹=𝐷𝐶𝐴𝐶.∵AD∥EG,∴𝐷𝐶𝐴𝐶=𝐶𝐸𝐶𝐺,故𝐵𝐸𝐵𝐹=𝐶𝐸𝐶𝐺.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页