2019-2020学年高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念（第2课时）集合的表示

第2课时集合的表示课标阐释思维脉络1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法.2.能进行自然语言与集合语言间的相互转换.一二一、列举法1.(1)我们在初中学习过正整数、负整数、有理数、实数等,请思考以下问题:①小于6的正整数有哪些?提示:1,2,3,4,5.②小于6的正整数是否可以组成一个集合?提示:显然这些数是确定的,根据集合的定义,这些数可以组成一个集合.③若能,用自然语言表示这个集合;如何用集合语言表示出这个集合?若不能,请说明理由.提示:该集合可以用自然语言表示为:由1,2,3,4,5组成的集合;用集合语言可以表示为{1,2,3,4,5}.一二(2)什么特点的集合适合用列举法表示?提示:集合为有限集,元素又不太多,适合用列举法表示.(3)列举法可以表示无限集吗?提示:可以.元素之间存在明显规律的无限集可以用列举法表示,如自然数集N可表示为{0,1,2,3,…,n,…}.2.填空:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.一二3.做一做(1)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为()A.{0,1}B.{(0,1)}(2)用列举法表示下列集合:①方程x2-9=0的解构成的集合;②不大于100的自然数构成的集合.故所求集合为{(0,1)}.答案:B(2)提示:①{-3,3}.②{0,1,2,3,…,100}.C.-12,0D.-12,0(1)解析:解方程组𝑦=2𝑥+1,𝑥=0,得𝑥=0,𝑦=1.一二二、描述法1.(1)1,2,3,4,5这五个数字组成的集合可以用列举法表示.①这五个数字的共同特征是什么?提示:小于6,且为整数.②是否可以用描述法表示该集合?若能,请写出该集合;若不能,请说明理由.提示:可以,{x|0x6,x∈Z}或{x∈Z|0x6}.(2)小于6的实数,是否能组成一个集合?若能,能否用列举法表示出该集合?若不能,能否用描述法表示出该集合?若能,请写出该集合;若不能,请说明理由.提示:不能用列举法表示;因为小于6的实数有无数个,且无法利用列举法表述出这些数的共性.可以用描述法表示为{x∈R|x6}.一二(3)如何理解定义中的“共同特征P(x)”?提示:属于集合A的任意一个元素都具有性质P(x),而不属于集合A的元素都不具有性质P(x).(4)什么类型的集合适合用描述法表示?提示:含有较多元素的有限集或无限集,且元素的共同特征能够找出.一二(5)下面有四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?提示:它们是互不相同的集合.①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值的集合,所以{x|y=x2+1}=R;②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={点P|点P是抛物线y=x2+1上的点};④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.2.填空一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.3.做一做判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.()(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.()(3){x|x-1}与{t|t-1}表示同一集合.()(4)集合{(x,y)|x0,y0,x,y∈R}是指第一象限内的点集.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√一二探究一探究二探究三探究四思想方法用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.分析:先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.(4)方程组𝑦=𝑥,𝑦=2𝑥-1的解是𝑥=1,𝑦=1,所求集合用列举法表示为{(1,1)}.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合.(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1用列举法表示下列集合:(1)15的正因数组成的集合;(2)不大于10的正偶数组成的集合;(3)方程组2𝑥+𝑦+6=0,𝑥-𝑦+3=0的解组成的集合.解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-23的解组成的集合.分析:找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合解:(1){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}.(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|3}.(3)不等式x-23的解是x5,则不等式x-23的解组成的集合用描述法表示为{x|x5}.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;(3)使函数y=2𝑥-1有意义的实数x组成的集合.解:(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法例3集合A=x𝑦=𝑥,𝑦=𝑥2可化简为什么?以下是两位同学的答案,你认为哪一个正确?试说明理由.学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.解:学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对学生甲:由𝑦=𝑥,𝑦=𝑥2得x=0或x=1,故A={0,1};𝑥=0,𝑦=0,𝑥=1,𝑦=1.故学生甲正确.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法延伸探究若把【例3】中的集合改为A=(x,y)𝑦=𝑥,𝑦=𝑥2,哪位同学解答正确?解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法集合表示方法的选择与转换例4用适当的方法表示下列集合:(1)方程组2𝑥-3𝑦=14,3𝑥+2𝑦=8的解组成的集合;(2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.分析:依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)解方程组2𝑥-3𝑦=14,3𝑥+2𝑦=8,得𝑥=4,𝑦=-2,故该集合用列举法可表示为{(4,-2)}.该集合也可用描述法表示为(𝑥,𝑦)2𝑥-3𝑦=14,3𝑥+2𝑦=8.(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.(3)用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.反思感悟表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练3用另一种方法表示下列集合:(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除,且小于10的正数};(3){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*};(4){-3,-1,1,3,5}.解:(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.(4){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练已知集合中元素个数求参数范围例5若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.【审题视角】明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2}.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练延伸探究1【例5】中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.延伸探究2【例5】中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值集合.解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,解得k1.综上,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.解:由题意得𝑘≠0,𝛥=(-8)2-4×𝑘×160,解得k1,且k≠0.即𝑘≠0,𝛥=(-8)2-4×𝑘×160,探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练集合语言的综合应用(1)集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下:探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练(2)解决集合问题的关键是弄清集合是由哪些元素构成的.如何弄清呢?关键在于把抽象问题具体化、形象化,也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示,或用Venn图(1、2节详述)来表示抽象的集合,或用数轴来表示这些集合;再如,当集合的元素为有序实数对时,可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练1.已知集合A={x∈N|x6},则下列关系式不成立的是()A.0∈AB.1.5∉AC.-1∉AD.6∈A解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.答案:D2.集合{x∈N*|x5}的另一种表示法是()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}