2019版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质课件 新人教B版选修1-1

-1-2.3.2抛物线的几何性质目标导航1.理解抛物线的简单的几何性质.2.了解抛物线的简单应用.知识梳理一、抛物线y2=2px(p0)的几何性质1.范围因为p0,由方程y2=2px(p0)可知,这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,它开口向右.2.对称性以-y代y,方程y2=2px(p0)不变,因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,在方程y2=2px(p0)中,当y=0时,x=0,因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.知识梳理4.离心率抛物线上的点到焦点和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.按照抛物线的定义,e=1.【做一做1】抛物线y2=4x的顶点坐标是,对称轴是.答案:(0,0)x轴(直线y=0)名师点拨抛物线的性质和椭圆、双曲线的区别:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.知识梳理二、抛物线四种形式的标准方程在直角坐标平面上,顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况,因此抛物线的方程相应地有四种形式,它们都叫做抛物线的标准方程.设抛物线的焦参数为p(p0),抛物线的标准方程的四种形式列表如下:图形标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)对称轴x轴顶点原点焦点坐标p2,0-p2,0知识梳理准线方程x=-p2x=p2图形标准方程x2=2py(p0)x2=-2py(p0)对称轴y轴顶点原点焦点坐标0,p20,-p2准线方程y=-p2y=p2【做一做2】抛物线x2=4y的焦点坐标为,准线方程为.答案:(0,1)y=-1知识梳理名师点拨(1)对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:①顶点都为原点;②对称轴为坐标轴;③准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的;④焦点到准线的距离均为p.其不同点:①对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号,开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.(2)只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.14重难聚焦1.焦参数p与抛物线的开口之间有什么关系?剖析:p是抛物线焦点到准线的距离,由方程y2=2px知,对于同一个x的值,p值越大,|y|也越大,不妨说抛物线开口也越大,这样可以较好地理解不同的p值与抛物线开口大小的关系.2.如何确定抛物线的对称轴和开口方向?剖析:已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.例如,抛物线的方程为x2=-4y,则y轴为其对称轴,开口方向和y轴的正方向相反.重难聚焦归纳总结对称轴要看一次项,符号确定开口方向,如果y是一次项,y的系数为负时开口向下,y的系数为正时开口向上.如果x是一次项,x的系数为负时开口向左,x的系数为正时开口向右.典例透析题型一题型二题型三题型四根据方程研究性质【例1】已知抛物线的标准方程如下,分别求出它们的焦点坐标和准线方程.(1)x2=-8y;(2)2y2+7x=0.分析:先把所给方程化为标准方程,求出p,再根据开口方向,写出焦点坐标和准线方程.解:(1)由抛物线的标准方程知抛物线的焦点在y轴的负半轴上,开口向下.∵p=4,∴焦点坐标为(0,-2),准线方程为y=2.(2)将2y2+7x=0变形为标准方程是y2=-72x.∴2p=72,p=74,开口向左.∴焦点坐标为-78,0,准线方程为x=78.典例透析题型一题型二题型三题型四求抛物线的标准方程【例2】求分别符合下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上.分析:根据已知条件求出抛物线标准方程中的p即可,注意标准方程的形式.典例透析题型一题型二题型三题型四解(1)设抛物线的标准方程为y2=-2px或x2=2py(p0),将点(-3,2)代入方程,得2p=43或2p=92,故抛物线方程为y2=-43x或x2=92y.(2)①令x=0,由方程x-2y-4=0,得y=-2.∴抛物线的焦点为(0,-2).设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),则由𝑝2=2,得2p=8.∴所求的抛物线的标准方程为x2=-8y.②令y=0,由x-2y-4=0,得x=4.∴抛物线的焦点为(4,0).设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),由𝑝2=4,得2p=16.∴所求抛物线的标准方程为y2=16x.综上,所求抛物线的标准方程为x2=-8y或y2=16x.典例透析题型一题型二题型三题型四反思求抛物线方程常用待定系数法,当抛物线类型不确定时,要注意讨论典例透析题型一题型二题型三题型四抛物线的简单应用【例3】探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深为40cm,求抛物线的标准方程和焦点坐标.分析:建立适当的坐标系确定抛物线上一点的坐标,从而确定焦参数p,求得其方程.典例透析题型一题型二题型三题型四反思解决本题的关键是建立适当的坐标系,求出抛物线的标准方程,进而求出焦点坐标.解在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与坐标原点重合,x轴垂直于灯口直径,如图所示.设抛物线标准方程为y2=2px(p0),由已知条件可得A点的坐标是(40,30),代入方程,得302=2p×40,∴p=454.∴所求抛物线的标准方程为y2=452x,焦点的坐标为458,0.典例透析题型一题型二题型三题型四易错题型【例4】设抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线方程.错解∵抛物线的准线方程为x=-𝑚4=1-3=-2,故m=8,∴抛物线方程为y2=8x.错因分析错解中没有明确焦点的位置,误认为焦点在x轴的正半轴上.正解∵当m0时,其准线方程为x=-𝑚4=-2,∴m=8,此时抛物线的标准方程为y2=8x;∵当m0时,其准线方程为x=-𝑚4=4,∴m=-16,此时抛物线的标准方程为y2=-16x.∴所求抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-16x.典例透析1已知抛物线关于x轴对称,它的顶点是坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.22B.23C.4D.25解析:由抛物线的定义知,𝑝2+2=3,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y0)在此抛物线上,所以𝑦02=8,于是|OM|=4+𝑦02=23.故选B.答案:B2过点(-1,2)的抛物线的标准方程为.答案:y2=-4x或x2=12y3焦点在直线x+y=1上的抛物线的标准方程为.答案:y2=4x或x2=4y典例透析4设抛物线x2=my(m≠0)的焦点到直线y=1的距离为2,则m=_____.解析:当m0时,由题意得𝑚4-1=2,故m=12.当m0时,由题意得-𝑚4+1=2,故m=-4.答案:12或-4典例透析5正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.解:如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线y2=2px(p0)上,且坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则𝑦12=2px1,𝑦22=2px2.又∵|OA|=|OB|,∴𝑥12+𝑦12=𝑥22+𝑦22,即𝑥12−𝑥22+2px1-2px2=0.∴(x1-x2)·(x1+x2+2p)=0.∵x10,x20,2p0,∴x1+x2+2p≠0,x1=x2.即A,B两点关于x轴对称,则∠AOx=30°.∴AB⊥x轴,∴y1=x1tan30°=33x1.又∵x1=𝑦122𝑝,∴y1=23p.∴|AB|=2y1=43p,即为所求正三角形的边长.典例透析