2019秋九年级数学上册 第6章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象与性质课件 （新版）北师大版

第六章反比例函数初中数学（北师大版）九年级上册知识点一反比例函数图象的画法反比例函数图象的画法(描点法)(1)列表:自变量的取值应以0为中心,在0的两边取三对(或三对以上)互为相反数的数,并计算出相应的函数值.(2)描点:以表中各组对应值为坐标,描出各点.(3)连线:按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸.注意自变量x≠0,反比例函数的图象是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交.注意(1)自变量的取值范围是x≠0的一切实数;(2)必须用平滑的曲线连接各点,而不能用折线;(3)为了更好地反映图象的全貌,要尽可能多地取一些数,多描一些点.知识拓展反比例函数的图象是双曲线,双曲线具有对称性.(1)双曲线是轴对称图形,对称轴有两条,分别是直线y=x和直线y=-x;(2)双曲线是中心对称图形,对称中心是原点O.如果一个点P(a,b)在双曲线的一支上,那么点P关于原点O中心对称的点必在双曲线的另一支上,这个点的坐标为(-a,-b).例1画出反比例函数y= 与y=- 的图象.3x3x解析用描点法画出反比例函数的图象.(1)列表.x…-5-4-3-2-112345…y= …-0.6-0.75-1-1.5-331.510.750.6…y=- …0.60.7511.53-3-1.5-1-0.75-0.6…3x3x(2)描点.(3)连线.如图6-2-1,图6-2-2. 图6-2-1 图6-2-2点拨用描点法画反比例函数的图象,列表时自变量应选取绝对值相等而符号相反的数,并尽量多取一些数,连线时要连成平滑的曲线,并注意双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交,但无限靠近坐标轴.知识点二反比例函数的图象和性质反比例函数y= (k≠0)的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点对称.由于反比例函数中的自变量x≠0,函数值y≠0,所以它的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.关于反比例函数的图象与性质归纳如下:kx反比例函数y= (k≠0)k的符号k0k0图象  性质①x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0.②函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内,y随x的增大而减小①x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0.②函数图象的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内,y随x的增大而增大反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,对称中心是坐标原点kx注意(1)因为x≠0,y≠0,所以反比例函数的图象与y轴、x轴不可能有交点.(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的;反过来,由双曲线所在位置或函数的增减性可以推出k的符号.如已知双曲线y= (k≠0)在第二、四象限,可知k0.kx例2对于反比例函数y= ,下列说法正确的是 ()A.图象经过点(1,-3)B.图象在第二、四象限C.x0时,y随x的增大而增大D.x0时,y随x的增大而减小3x解析对于反比例函数y= ,当x=1时,y=3,故A项错误;因为k=30,所以反比例函数y= 的图象的两个分支分别在第一、三象限内,且在每一象限内,y的值随x值的增大而减小,故B,C项均错误,D项正确.3x3x答案D点拨本题还可以画函数图象的草图,利用数形结合思想求解.知识点三反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的几何意义如图6-2-3所示,过双曲线上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.因为y= ,所以xy=k,所以S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形的面积为|k|.如图6-2-3所示,过双曲线上任一点E作EF垂直于y轴于点F,连接EO,所得的三角形OEF的面积为 . kxkx||2k图6-2-3注意(1)掌握反比例函数解析式中比例系数k的几何意义——过双曲线上任一点向坐标轴作垂线,所围成矩形的面积为|k|.(2)若已知过双曲线上某点向坐标轴作垂线所围矩形的面积,求反比例函数解析式时,还应考虑双曲线所在象限,从而确定k的符号.例3如图6-2-4,已知矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y= (x0)的图象过边BC的中点E且与边AB交于点D,EM垂直于x轴.若四边形OEBD的面积为2,求k的值. 图6-2-4kx解析由k的几何意义可知S△OEC=S△OAD= ,因为点E在反比例函数y= (x0)的图象上,所以S矩形OMEC=|k|,因为矩形OABC的边CB的中点是E,所以矩形OABC的面积为2|k|.所以 |k|+2+ |k|=2|k|,所以|k|=2.由题图知k0,故k=2.||2kkx1212题型一比较函数值的大小例1(2017河南中考)已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=- 的图象上,则m与n的大小关系为.2x解析解法一:把点A(1,m),B(2,n)分别代入y=- ,可得m=-2,n=-1,所以mn.解法二:∵k=-20,∴双曲线位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,∵012,∴mn.2x答案mn点拨比较函数值的大小常用的方法一般有三种:求值法,性质法,图象法.求值法适用于系数k已知,自变量x已知,且计算简单的问题;性质法适用于所给点在图象的同一个分支上,直接利用增减性比较;图象法比较直观,只是画图象较为麻烦.题型二比例系数k的几何意义的运算例2如图6-2-5,点A是反比例函数y=- (x0)的图象上的一点,过点A作▱ABCD,使点B,C在x轴上,点D在y轴上,则▱ABCD的面积为 () 图6-2-5A.1B.3C.6D.126x解析过点A作AE⊥OB于点E,如图6-2-6. 图6-2-6∵矩形ADOE的面积等于AD·AE,▱ABCD的面积等于AD·AE,∴▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积.∵矩形ADOE的面积为6,∴▱ABCD的面积为6,故选C.答案C点拨本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义,根据题意得出▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积是解答本题的关键.易错点研究函数的增减性时不分象限例已知在反比例函数y= (a为常数)的图象上有A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)三点,则函数值y1,y2,y3的大小关系是 ()A.y2y3y1B.y3y2y1C.y1y2y3D.y3y1y221ax解析画出函数图象的草图,如图6-2-7所示.图6-2-7由图象可知A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)三点不在双曲线y= (a为常数)的同一个分支上,A,B两点在第二象限内的分支上,点C在第四象限内的分支上.显然,第二象限内分支上所有点的纵坐标都大于第四象限内分支上所有点的纵坐标.故y3y1y2.21ax答案D易错警示本题易出现的错误是:∵-a2-10,∴y的值随x值的增大而增大.∵-3-12,∴y1y2y3,故选C.知识点一反比例函数图象的画法x-4-3-2-11234y-  4x43431.先填表,再画出反比例函数y= 的图象.解析填表如下:x-4-3-2-11234y-1- -2-442 14343画图如下:知识点二反比例函数的图象和性质2.已知反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,则k的取值范围是 ()A.k2B.k≥2C.k≤2D.k22kx答案A由题意得k-20,故k2.3.(2018湖南怀化中考)函数y=kx-3与y= (k≠0)在同一坐标系内的图象可能是 () kx答案B直线y=kx-3与y轴交于点(0,-3),可排除A、D选项;由k的取值符号是否一致(k0时,直线与双曲线都经过第一、三象限;k0时,直线与双曲线都经过第二、四象限),可以排除C.故选B.4.(2018江苏扬州中考)已知点A(x1,3),B(x2,6)都在反比例函数y=- 的图象上,则下列关系式一定正确的是 ()A.x1x20B.x10x2C.x2x10D.x20x13x答案A解法一:∵点A(x1,3),B(x2,6)都在反比例函数y=- 的图象上,∴x1=-1,x2=- ,即有x1x20.解法二:∵k=-30,∴图象位于第二象限或第四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大,∵36,∴x1x20.故选A.3x125.(2018黑龙江绥化中考)已知反比例函数y= ,下列结论不正确的是 ()A.其图象经过点(3,1)B.其图象分别位于第一、三象限C.当x0时,y随x的增大而减小D.当x1时,y33x答案DA.当x=3时,y=1,∴函数图象过点(3,1),故本选项正确;B.∵k=30,∴函数图象位于第一、三象限,故本选项正确;C.∵k=30,∴当x0时,y随x的增大而减小,故本选项正确;D.当x=1时,y=3,当x1时,0y3,故本选项错误.故选D.知识点三反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的几何意义kx6.(2017贵州黔南州中考)反比例函数y=- (x0)的图象如图6-2-1所示,则矩形OAPB的面积是 () 图6-2-1A.3B.-3C. D.- 3x3232答案A∵点P在反比例函数y=- (x0)的图象上,∴设P ,∴OA=-x,PA=- ,∴S矩形OAPB=OA·PA=-x· =3,故选A.3x3,xx3x3x7.(2019北京顺义期末)如图6-2-2,在平面直角坐标系xOy中,点A在反比例函数y=- 位于第二象限的图象上,过点A作AB⊥x轴于点B,则S△AOB=. 图6-2-24x答案2解析设点A的坐标为 ,∵AB⊥x轴,∴OB=-a,AB=- ,∴S△AOB= =2.4,aa4a42aa8.如图6-2-3,点A是反比例函数y= 图象上一点,过点A作AB⊥y轴于点B,点C、D在x轴上,且BC∥AD,四边形ABCD的面积为3,则k=.图6-2-3kx答案-3解析设点A的坐标为(m,n),∵AB⊥y轴,CD⊥y轴,∴AB∥CD,又∵BC∥AD,∴四边形ABCD为平行四边形.S平行四边形ABCD=AB·OB=-m·n=3,∴k=mn=-3.1.已知反比例函数y= ,当-3x-1时,y的取值范围是 ()A.y0B.-3y-1C.-6y-2D.2y66x答案C∵k=60,∴在每个象限内y随x的增大而减小,又∵当x=-3时,y=-2,当x=-1时,y=-6,∴当-3x-1时,-6y-2.故选C.2.(2015贵州黔东南州中考)若ab0,则正比例函数y=ax与反比例函数y= 在同一坐标系中的大致图象可能是 () bx答案B∵ab0,∴分两种情况:(1)当a0,b0时,正比例函数y=ax的图象过第一、三象限,反比例函数y=的图象在第二、四象限;(2)当a0,b0时,正比例函数y=ax的图象过第二、四象限,反比例函数y=的图象在第一、三象限.故选B.bxbx3.如图,如果曲线l1是反比例函数y= 在第一象限内的图象,且过点A(2,1),那么曲线l1关于x轴对称的曲线l2的解析式为. kx答案y=- 2x解析将(2,1)代入反比例函数y= ,得k=2,∴曲线l1的解析式为y= ,∴曲线l1关于x轴对称的曲线l2的解析式为y=- .kx2x2x1.(2018浙江舟山中考)如图6-2-4,点C在反比例函数y= (x0)的图象上,过点C的直线与x轴,y轴分别交于点A、B,且AB=BC,△AOB的面积为1.则k的值为 () 图6-2-4A.1B.2C.3D.4kx答案D如图,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OC.由CD∥OB得△ABO∽△ACD,∴ = ,∵AB=BC,∴AO=OD,故S△ABO=S△BOC=1,S△AOC=S△COD=2,又因为S△COD= ,所以 =2,即k=4,故选D. ABBCAOOD2k2k2.已知反比例函数y= (k≠0),当