2020版高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2

-1-2.1.1合情推理目标导航1.了解合情推理的含义,能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用.知识梳理1.归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理知识梳理【做一做1-1】一串黑白相间排列的珠子如图所示,若按这种规律排列下去,则第36颗珠子的颜色是()A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大解析:由题图知这串珠子的排列规律是:每5颗一组(前3颗是白色珠子,后2颗是黑色珠子)呈周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子,其颜色与第1颗珠子的颜色相同,故它的颜色一定是白色.答案:A知识梳理【做一做1-2】根据所给出的数塔,猜测123456×9+7等于()1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113解析:根据所给出的数塔的构成规律,经分析、比较,可猜测123456×9+7的值是由7个1组成的正整数,故选B.答案:B知识梳理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想知识梳理拓展提升根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.数学中通常把能够判断真假的陈述句称为命题,因而数学推理是由已知命题推出新命题的思维过程;推理的结构一般分为前提和结论两部分,前提即已知的事实(或假设),结论是由已知判断推出的新判断;推理的一般形式为:前提⇒结论.如:𝑎∥𝑏,𝑏∥𝑐前提⇒𝑎∥𝑐结论.推理可以写成:“因为……,所以……”“如果……,那么……”“根据……,可知……”等,其中“因为”“如果”“根据”的后面是前提,“所以”“那么”“可知”的后面是结论.知识梳理【做一做2】在数列{an}中,a1=3,an-an·an+1=1(n∈N*),An表示数列{an}的前n项之积,则A2019=.解析:由a1=3,a1-a1a2=1,得𝑎2=23;由𝑎2=23,a2-a2a3=1,得a3=−12;由a3=−12,a3-a3a4=1,得a4=3,所以a1=a4=3,因此可归纳出数列{an}的项从a1开始呈周期性变化,最小正周期为3.而a1a2a3=3×23×-12=−1,2019=673×3,故A2019=(-1)673=-1.答案:-1重难聚焦1.归纳推理的特点有哪些?剖析(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是未知的一般现象,该结论往往超越了前提所包含的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否正确还需经过逻辑证明和实践检验,因此归纳推理不能作为数学证明的工具.(3)一般地,归纳的个别现象越多,越具有代表性,推出的一般性结论也就越可靠.(4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现新的事实,获得新的结论.重难聚焦2.类比推理的特点有哪些?剖析(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究的事物的属性,是以已有的认识为基础,类比出新的结果.(2)类比推理是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.类比的两类对象的相似性越多、相似的性质与推测的性质之间越相关,类比得出的结论就越可靠.(3)由于类比推理得到的结论也具有猜测性,结论是否正确还需经过逻辑证明和实践的检验,因此类比推理也不能作为数学证明的工具,但它却具有触类旁通、提供线索、比较思考、举一反三等一系列启迪思维的作用,而且也能帮助我们加快、加深对新概念、新公式、新规律的理解、记忆及应用.(4)类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.在数学中,我们可以从已经解决的问题和已经获得的知识出发,通过类比提出新问题,获得新发现.重难聚焦3.数学中常见的类比有哪些?剖析数学中常见的类比:直线与平面、平面与空间、方程与不等式、一元与多元、等差数列与等比数列等.例如:类比下列平面图形的性质,可以得出空间图形的性质.平面图形的性质空间图形的性质若同一平面内两条直线无公共点,则它们互相平行①同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行②平行四边形(对边平行且相等)③矩形(对角线长度相等)④正方形(外接圆、内切圆的圆心重合)⑤正三角形(外接圆、内切圆的圆心重合)⑥等面积法⑦重难聚焦①若空间中的两个平面无公共点,则它们互相平行②空间中平行于同一个平面的两个平面平行③平行六面体(相对面平行且全等)④长方体(对角面全等)⑤正方体(外接球、内切球的球心重合)⑥正四面体(外接球、内切球的球心重合)⑦等体积法典例透析题型一题型二题型三数列中的归纳推理【例1】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,…).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)归纳猜想通项an的表达式.分析:由a1求a2→由a2求a3→由a3求a4→由a4求a5→分析a1,a2,a3,a4,a5的结构特征→猜想通项公式an解:(1)已知a1=1,an+1=2an+1,则a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.(2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1,a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,可归纳猜想出an=2n-1(n∈N*).典例透析题型一题型二题型三反思归纳推理具有从特殊到一般、从具体到抽象的认知功能,在求数列的通项公式或前n项和时,经常用归纳推理得出关于前有限项的结论,此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一,以便于寻找规律,归纳猜想出结论.其具体步骤是:(1)通过条件求得数列中的前几项或前几项和;(2)观察数列的前几项或前几项和,寻求项的规律,猜测数列的通项公式和前n项和公式.典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】已知下列一组等式:s1=1;s2=2+3=5;s3=4+5+6=15;s4=7+8+9+10=34;s5=11+12+13+14+15=65;s6=16+17+18+19+20+21=111;……(1)写出s7对应的等式;(2)求出sn对应等式的第一项,并写出sn对应的等式.典例透析题型一题型二题型三解:通过观察,第1个式子是1个正整数的和,第2个式子是2个连续正整数的和,第3个式子是3个连续正整数的和,则第n个式子是n个连续正整数的和.(1)s7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)前(n-1)个等式所有的项数之和为1+2+3+…+(n-1)=(𝑛-1)·𝑛2.所以sn对应的等式的第一项为𝑛(𝑛-1)2+1=𝑛2-𝑛+22.由于该等式共有n项,因此最后一项为𝑛(𝑛-1)2+𝑛=𝑛2+𝑛2.其各项的和为𝑛2-𝑛+22+𝑛2-𝑛+42+𝑛2-𝑛+62+⋯+𝑛2+𝑛2=12·n·𝑛2-𝑛+22+𝑛2+𝑛2=12𝑛(n2+1).典例透析题型一题型二题型三故sn对应的等式为sn=𝑛2-𝑛+22+𝑛2-𝑛+42+𝑛2-𝑛+62+⋯+𝑛2+𝑛2=12𝑛(n2+1).典例透析题型一题型二题型三其他形式的归纳推理【例2】根据下图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为.解析:分别求出前4个图形中线段的条数,并加以归纳,发现规律,得出猜想.图形①~④中线段的条数分别为1,5,13,29.因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,所以可猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509.答案:509典例透析题型一题型二题型三反思图形中的归纳推理问题也是一类考查归纳推理的热点问题,归纳的途径有两条:一是按每个图形中单位图形(要考查的几何元素,如本题中的线段)的数目来归纳;二是按图形变化的特点来归纳.典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为𝑛(𝑛+1)2=12𝑛2+12𝑛.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12𝑛2+12𝑛,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32𝑛2−12𝑛,六边形数N(n,6)=2n2-n,…………可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.典例透析题型一题型二题型三解析:由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是−12的等差数列,因此N(n,k)=12+(𝑘-3)12𝑛2+12+(𝑘-3)-12𝑛=𝑘-22𝑛2+4-𝑘2𝑛.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1000.答案:1000典例透析题型一题型二题型三类比推理的应用【例3】请用类比推理完成下表:平面空间三角形的两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半典例透析题型一题型二题型三解析:本题由前两组类比可得到如下信息:①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.由以上可知:答案:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一反思类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择恰当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,由平面中相关结论类比得到空间中的相关结论.典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】三角形与四面体有下列相似性质:(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表:三角形四面体三角形的中位线的长等于第三条边边长的一半,且平行于第三条边三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心典例透析题型一题型二题型三解:三角形四面体三角形的中位线的长等于第三条边边长的一半,且平行于第三条边四面体的中位面的面积等于与之平行的第四个面的面积的14,且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心典例透析