2020版高中数学 第一章 导数及其应用本章整合课件 新人教A版选修2-2

-1-本章整合知识建构综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题一导数的几何意义与曲线的切线方程利用导数的几何意义求切线方程时,关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即可;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)(x0-x1).①又y1=f(x1),②由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用已知曲线y=13𝑥3+43,求斜率为4的曲线的切线方程.提示:切点的坐标→切线的斜率→点斜式求切线方程解:设切点为(x0,y0),则切线的斜率k=𝑥02=4,解得x0=±2.∴切点为(2,4)或-2,-43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y-4=4(x-2)和y+43=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题二利用导数研究函数的单调性1.利用导数求函数单调区间的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f'(x);(3)在定义域内,解不等式f'(x)0得到函数f(x)的递增区间;解不等式f'(x)0得到函数f(x)的递减区间.2.根据单调性求参数的取值范围:函数f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立,其中f'(x)不恒等于0.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用1已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R,讨论函数f(x)的增减性.提示:根据判断函数增减性的相关知识求解.解:f'(x)=3x2+2ax+1,判别式Δ=4(a2-3).①若a3或a−3,则在区间-∞,-𝑎-𝑎2-33内f'(x)0,f(x)单调递增;在区间-𝑎-𝑎2-33,-𝑎+𝑎2-33内f'(x)0,f(x)单调递减;在区间-𝑎+𝑎2-33,+∞内f'(x)0,f(x)单调递增.②若−3𝑎3,则对所有x∈R都有f'(x)0,故此时f(x)在R上单调递增.③若a=±3,则f′-𝑎3=0,且对所有的x≠−𝑎3都有f'(x)0,故当a=±3时,f(x)在R上单调递增.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用2已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,a∈R.(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,求a的取值范围;(3)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.提示:(1)将a的值代入,确定f(x)的定义域,求导数,然后解不等式即得;(2)转化为f'(x)≥0在[2,+∞)内恒成立求解;(3)转化为不等式f'(x)0在定义域上有解进行求解.解:(1)当a=8时,f(x)=x2-4x-6lnx,f'(x)=2x-4−6𝑥=2𝑥2-4𝑥-6𝑥,令f'(x)0,得x3;令f'(x)0,得0x3,所以f(x)的增区间是(3,+∞),减区间是(0,3).综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(2)由题意知f'(x)=2x-4+2-𝑎𝑥≥0在区间[2,+∞)内恒成立,即a≤2x2-4x+2.令g(x)=2x2-4x+2=2(x-1)2,则g(x)在[2,+∞)内的最小值为g(2)=2.所以a≤2.(3)依题意f'(x)=2x-4+2-𝑎𝑥0在区间(0,+∞)内有解,即2x2-4x+2-a0在区间(0,+∞)内有解,因此必有Δ=16-8(2-a)0,即a0.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题三利用导数求函数的极值和最值1.应用导数求函数极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)解方程f'(x)=0的根;(3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号.若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;否则,此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将(1)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用1已知函数f(x)=𝑘𝑥+1𝑥2+𝑐(c0,且c≠1,k≥0)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个极值点是x=-c.(1)求函数f(x)的另一个极值点;(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求当M-m≥1时k的取值范围.提示:对于本题,先求导函数f'(x),再由f'(-c)=0及一元二次方程根与系数的关系可解决第(1)小题,而解答第(2)小题时需对k与c进行分类讨论.解:(1)f'(x)=𝑘(𝑥2+𝑐)-2𝑥(𝑘𝑥+1)(𝑥2+𝑐)2=-𝑘𝑥2-2𝑥+𝑐𝑘(𝑥2+𝑐)2,由题意知f'(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0.∵c0,易知k≠0,∴c=1+2𝑘.(*)由f'(x)=0,得-kx2-2x+ck=0.由根与系数的关系知,函数f(x)的另一个极值点为x=1.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(2)由(*)式知c=1+2𝑘,由k0,可知c1.当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:x(-∞,-c)-c(-c,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘∴f(x)在区间(-∞,-c)和(1,+∞)内单调递减,在区间(-c,1)内单调递增.∴M=f(1)=𝑘+1𝑐+1=𝑘20,m=f(-c)=-𝑘𝑐+1𝑐2+𝑐=-𝑘22(𝑘+2)0,由M-m=𝑘2+𝑘22(𝑘+2)≥1及k0,解得k≥2.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用2已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x=x0处取得极小值-4,使其导函数f'(x)0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值;(2)当x∈[2,3]时,求g(x)=f'(x)+6(m-2)x的最大值.提示:第(1)小题,可利用条件建立关于a,b,c的方程组,利用待定系数法求解;第(2)小题利用导数与最值的知识求解,注意对m分类讨论.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六解:(1)由题意,知f'(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-1)·(x-3)(a0),所以在区间(-∞,1)内f'(x)0,f(x)单调递减;在区间(1,3)内f'(x)0,f(x)单调递增;在区间(3,+∞)内f'(x)0,f(x)单调递减.因此f(x)在x0=1处取得极小值-4,在x=3处取得极大值.所以𝑎+𝑏+𝑐=-4,𝑓'(1)=3𝑎+2𝑏+𝑐=0,𝑓'(3)=27𝑎+6𝑏+𝑐=0,解得𝑎=-1,𝑏=6,𝑐=-9,所以f(x)=-x3+6x2-9x.则f(x)在x=3处取得极大值f(3)=0.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(2)g(x)=-3(x-1)(x-3)+6(m-2)x=-3(x2-2mx+3).由g'(x)=-6x+6m=0,得x=m.①当2≤m≤3时,g(x)max=g(m)=3m2-9;②当m2时,g(x)在区间[2,3]上是单调递减的,g(x)max=g(2)=12m-21;③当m3时,g(x)在区间[2,3]上是单调递增的,g(x)max=g(3)=18m-36.因此g(x)max=12𝑚-21,𝑚2,3𝑚2-9,2≤𝑚≤3,18𝑚-36,𝑚3.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题四利用导数证明不等式或研究不等式恒成立问题从近几年高考题看,利用导数证明不等式这一知识点常考到,一般出现在解答题中.利用导数解决不等式问题(如证明不等式、比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考察这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的:要证不等式f(x)g(x),则构造函数φ(x)=f(x)-g(x),只需证φ(x)0即可,由此转化成求φ(x)最小值问题,借助于导数解决.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用1已知函数f(x)=lnx−(𝑥-1)22.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)x-1;(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x01,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).(1)解:f'(x)=1𝑥−𝑥+1=-𝑥2+𝑥+1𝑥,x∈(0,+∞).由f'(x)0,得𝑥0,-𝑥2+𝑥+10,解得0x1+52.故f(x)的单调递增区间是0,1+52.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),则F'(x)=1-𝑥2𝑥.当x∈(1,+∞)时,F'(x)0,所以F(x)在区间(1,+∞)内单调递减,故当x1时,F(x)F(1)=0,即当x1时,f(x)x-1.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(3)解:由(2)知,当k=1时,不存在x01满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)k(x-1),从而不存在x01满足题意.当k1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),则有G'(x)=1𝑥−𝑥+1-k=-𝑥2+(1-𝑘)𝑥+1𝑥.由G'(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.解得𝑥1=1-𝑘-(1-𝑘)2+420,𝑥2=1-𝑘+(1-𝑘)2+421.当x∈(1,x2)时,G'(x)0,故G(x)在区间[1,x2)内单调递增.从而当x∈(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-∞,1).综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六应用2已知函数f(x)=lnx+𝑎𝑥−2.(1)若f(x)在区间[2,5]上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若f(x)≥0对任意x0恒成立,求实数a的最小值.解:(1)因为f'(x)=1𝑥−𝑎𝑥2,所以由题意知f'(x)≤0在区间[2,5]上恒成立,即1𝑥−𝑎𝑥2≤0在区间[2,5]上恒成立,因此x≤a恒成立.因为x∈[2,5],所以实数a的取值范围是a≥5.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六(2)由题知lnx+𝑎𝑥−2≥0对任意x0恒成立,即a≥2x-xlnx.令g(x)=2x-xlnx,则g'(x)=2-(lnx+1)=1-lnx,显然当0xe时,g'(x)0,g(x)在区间(0,e)内是增函数;当x≥e时,g'(x)≤0,g(x)在区间[e,+∞)内是减函数.所以g(x)max=g(e)=e.故a≥e,即a的最小值为e.综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题五导数的实际应用利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间[a,b]上的最大(小)值或利用导数解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高考的又一新热点.1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法:(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定因变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系y=f(x),根据实际问题确定y=f(x)的定义域.(2)求f'(x),令f'(x)=0,得出所有的实数解.(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小,根据实际问题的意义确定函数f(x)的最大值或最小值.综合应用专题一专题二专