（贵阳专用）2019中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第三章 函数 课时12 二次函数的综合与

1第一部分第三章课时12命题点1二次函数的实际应用1．(2018·贵阳)六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y(单位：cm)与滑行时间x(单位：s)之间的关系可以近似的用二次函数来表示.滑行时间x/s0123…滑行距离y/cm041224…(1)根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要多少时间才能到达终点？(2)将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．解：(1)∵该抛物线过点(0,0)，∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx.将(1,4)，(2,12)代入，得a＋b＝4，4a＋2b＝12，解得a＝2，b＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2＋2x.当y＝80000时，2x2＋2x＝80000，解得x＝199.500625(负值已舍去)，即他需要199.500625s才能到达终点．(2)∵y＝2x2＋2x＝2(x＋12)2－12，∴向左平移2个单位，再向上平移5个单位后函数解析式为y＝2(x＋2＋12)2－12＋5＝2(x＋52)2＋92.命题点2二次函数与几何的综合2．(2017·贵阳)我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示，对于这样的抛物线：(1)当抛物线经过点(－2,0)和(－1,3)时，求抛物线的表达式；2(2)当抛物线的顶点在直线y＝－2x上时，求b的值；(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，横坐标依次为－1，－2，－3，…，－n(n为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx经过点(－2,0)和(－1,3)，∴4a－2b＝0，a－b＝3，解得a＝－3，b＝－6，∴抛物线的表达式为y＝－3x2－6x.(2)∵抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标是(－b2a，－b24a)，且该点在直线y＝－2x上，∴－b24a＝－2×(－b2a)．∵a≠0，∴－b2＝4b，解得b1＝－4，b2＝0.(3)由这组抛物线的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，及(2)可知，b＝－4或b＝0.①当b＝0时，抛物线的顶点在坐标原点，不符合题意，舍去；②当b＝－4时，抛物线的表达式为y＝ax2－4x.由题意可知，第n条抛物线的顶点为An(－n,2n)，则Dn(－3n,2n)．∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，∴设第n＋k(k为正整数)条抛物线经过点Dn，此时第n＋k条抛物线的顶点坐标是An＋k(－n－k,2n＋2k)，∴－b2a＝－n－k，∴a＝bn＋k＝－2n＋k，∴第n＋k条抛物线的表达式为y＝－2n＋kx2－4x.∵Dn(－3n,2n)在第n＋k条抛物线上，3∴2n＝－2n＋k×(－3n)2－4×(－3n)，解得k＝45n.∵n，k为正整数，且n≤12，∴n1＝5，n2＝10.当n＝5时，k＝4，n＋k＝9；当n＝10时，k＝8，n＋k＝18＞12(舍去)，∴D5(－15,10)．∴此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长为10.3．(2016·贵阳)如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1,0)，C(0,5)．∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，∴0＝a－4＋c，c＝5，解得a＝－1，c＝5，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5.(2)令y＝－x2＋4x＋5＝0，解得x＝5或x＝－1(舍去)，∴点B的坐标为(5,0)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5,0)，C(0,5)，∴5k＋b＝0，b＝5，解得k＝－1，b＝5，∴直线BC的解析式为y＝－x＋5.如答图1，设ND的长为d，N点的横坐标为n.4答图1则N点的纵坐标为－n＋5，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由题意可知，－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋254，∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是254.(3)由题意可得二次函数的顶点坐标为H(2,9)，点M的坐标为(4,5)．如答图2，作点H(2,9)关于y轴的对称点H1，答图2则点H1的坐标为(－2,9)，作点M(4,5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为(4，－5)，连接H1M1，分别交x轴于点F，y轴于点E，则EH1＝EH，FM1＝FM，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求．设直线H1M1的解析式为y＝k1x＋b1，∵直线H1M1过点M1(4，－5)，H1(－2,9)，∴－5＝4k1＋b1，9＝－2k1＋b1，解得k1＝－73，b1＝133.∴直线H1M1的解析式为y＝－73x＋133，5∴点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．4．(2015·贵阳)如图，经过点C(0，－4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(－2,0)，B两点．(1)a__＞__0，b2－4ac__＞__0；(填“＞”或“＜”)(2)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)＞，＞.(2)∵直线x＝2是对称轴，A(－2,0)，∴B(6,0)．∵点C(0，－4)，∴将A，B，C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得4a－2b＋c＝0，36a＋6b＋c＝0，c＝－4，解得a＝13，b＝－43，c＝－4，∴抛物线的函数表达式为y＝13x2－43x－4.(3)存在．(i)假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形．如答图1，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形．∵抛物线y＝13x2－43x－4关于直线x＝2对称，∴由抛物线的对称性可知，点E的横坐标为4.∵OC＝4，∴点E的纵坐标为－4.6∴E(4，－4)；答图1答图2(ii)假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形．如答图2，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，∴AC＝E′F′，AC∥E′F′.过点E′作E′G⊥x轴于点G.∵AC∥E′F′，∴∠CAO＝∠E′F′G.∵∠COA＝∠E′GF′＝90°，AC＝E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G＝CO＝4，∴点E′的纵坐标是4，∴4＝13x2－43x－4，解得x1＝2＋27，x2＝2－27，∴点E′的坐标为(2＋27，4)，同理可得点E″的坐标为(2－27，4)．综上所述，满足条件的点E的坐标为(4，－4)或(2＋27，4)或(2－27，4)．5．(2014·贵阳)如图，经过点A(0，－6)的抛物线y＝12x2＋bx＋c与x轴相交于B(－2,0)，C两点．7(1)求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)在(2)的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．解：(1)将A(0，－6)，B(－2,0)代入y＝12x2＋bx＋c，得－6＝c，0＝2－2b＋c，解得b＝－2，c＝－6，∴y＝12x2－2x－6，∴顶点D的坐标为(2，－8)．(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线y1＝12(x－2＋1)2－8＋m，∴P(1，－8＋m)．在抛物线y＝12x2－2x－6中易得C(6,0)，∴直线AC的解析式为y2＝x－6.当x＝1时，y2＝－5，∴－5＜－8＋m＜0，解得3＜m＜8.(3)存在．∵A(0，－6)，B(－2,0)，∴线段AB的中点坐标为(－1，－3)，直线AB的解析式为y＝－3x－6，∴过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为y＝13x－83，∴直线y＝13x－83与y＝12(x－1)2－8＋m有交点．联立方程，求得判别式为Δ＝64－12(6m－29)≥0，解得m≤10318.∴①当3＜m＜10318时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；②当m＝10318时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；③当10318＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．8