（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二十五）事件的独立性 苏教版选修2-3

课时跟踪检测（二十五）事件的独立性[课下梯度提能]一、基本能力达标1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件解析：选D根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．2.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16解析：选B设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，因事件相互独立，所以P(A)＝23×14＋13×34＝512.3．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为()A．0.48B．0.4C．0.32D．0.24解析：选D由题意可知只闯过前两关，则第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P＝0.8×0.6×(1－0.5)＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24，故答案为D.4．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是()A.29B.118C.13D.23解析：选D由P(AB)＝P(BA)得P(A)P(B)＝P(B)·P(A)，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(AB)＝19，∴P(A)＝P(B)＝13.∴P(A)＝23.5．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13解析：选A设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝23，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝23.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×23＝49.6．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．据题意可知P(A)＝40100＝25，P(B)＝70100＝710，故P(AB)＝P(A)P(B)＝25×710＝725.答案：7257．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝34.答案：348．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．解析：设过第一关为事件A，当抛掷一次出现的点数为2,3,4,5,6点中之一时，通过第一关，所以P(A)＝56.设过第二关为事件B，记两次骰子出现的点数为(x，y)，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．P(B)＝1－P(B)＝1－636＝56.所以连过前两关的概率为：P(A)P(B)＝2536.答案：25369．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.(2)记A的对立事件为A，B的对立事件为B，C的对立事件为C，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.75，P(C)＝0.5，于是P(D)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.10．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.二、综合能力提升1．如图，元件Ai(i＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是()A．0.729B．0.8829C．0.864D．0.9891解析：选B电流能通过A1，A2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通过A3的概率为0.9，故电流不能通过A1，A2且也不能通过A3的概率为(1－0.81)×(1－0.9)＝0.019.故电流能通过系统A1，A2，A3的概率为1－0.019＝0.981.而电流能通过A4的概率为0.9，故电流能在M，N之间通过的概率是0.981×0.9＝0.8829.2.甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答题及格的概率为810，乙答题及格的概率为610，丙答题及格的概率为710，3人各答题1次，则3人中只有1人答题及格的概率为()A.320B.42125C.47250D．以上全不对解析：选C设“甲答题及格”为事件A，“乙答题及格”为事件B，“丙答题及格”为事件C，显然事件A，B，C相互独立，设“3人各答1次，只有1人及格”为事件D，则D的可能情况为ABC，ABC，ABC(其中A，B，C分别表示甲、乙、丙答题不及格)．ABC，ABC，ABC不能同时发生，故两两互斥，所以P(D)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝810×410×310＋210×610×310＋210×410×710＝47250.3．某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛．在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分．假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为23，12，13，他们的竞赛成绩相互独立．(1)求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率；(2)记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．解：(1)记“甲成绩优秀”为事件A，“乙成绩优秀”为事件B，“丙成绩优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名成绩为优秀”为事件E，因为事件A，B，C是相互独立事件，所以P(E)＝1－P(ABC)＝1－13×12×23＝89.(2)X的所有可能取值为15,20,25,30，P(X＝15)＝P(ABC)＝13×12×23＝19，P(X＝20)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×12×23＋13×12×23＋13×12×13＝718，P(X＝30)＝P(ABC)＝23×12×13＝19，则P(X＝25)＝1－19－718－19＝718，所以X的分布列为X15202530P19718718194．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．解：设Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝C13C24C37＝1835.(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C33C37·13＝1105；P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝C33C37·23＝2105，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝C23C14C37·13＝12105＝435，P(X＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X的分布列为X01050200P6743521051105