2020年高考数学一轮复习 专题2.10 函数的综合运用练习（含解析）

第十讲函数的综合运用考向一新概念题【例1】对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，ab.设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．【答案】1－316，0【解析】函数f(x)＝2x2－x，x≤0，－x2＋x，x0的图象如图所示．设y＝m与y＝f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3.由y＝－x2＋x＝－x－122＋14，得顶点坐标为12，14.当y＝14时，代入y＝2x2－x，得14＝2x2－x，解得x＝1－34(舍去正值)，∴x1∈1－34，0.又∵y＝－x2＋x图象的对称轴为x＝12，∴x2＋x3＝1，又x2，x30，∴0x2x3x2＋x322＝14.又∵0－x13－14，∴0－x1x2x33－116，∴1－316x1x2x30.【举一反三】1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为()A.]2,49(B．[－1,0]C．(－∞，－2]D.),49(【答案】A【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－3x＋4－(2x＋m)＝x2－5x＋4－m，则由题意知F(x)＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0FFm，即402049mmm，解之得－94m≤－2，故选A考向二函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数𝑓(𝑓)满足𝑓(𝑓)=𝑓(𝑓−𝑓)，当𝑓∈[−𝑓2,0]时，𝑓(𝑓)=2𝑓−cos𝑓，则函数𝑓(𝑓)在区间[−𝑓,𝑓]内的零点个数为。【答案】7【解析】由题意可得f(x)对称轴𝑓=𝑓2,x=0,所以周期为𝑓=𝑓,由图可知,在𝑓∈[−𝑓2,0]上有两个根,其中一个为x=0,根据周期性可知𝑓(𝑓)=𝑓(−𝑓)=0,(−𝑓,−𝑓2),(−𝑓2,0),(0,𝑓2),(𝑓2,𝑓)上各有一个零点,所有共7个零点.选B.【举一反三】1.已知定义域为R的函数ygx满足以下条件：①,33xRgxgx；②()(2)gxgx；③当1,2x时,2()242gxxx.若方程()log10,1agxxaa且在0,上至少有5个不等的实根,则实数a的取值范围为（）A．303aB．505aC．505aD．12a【答案】C2.函数fx是定义在R上的偶函数，且满足20,1fxfxx，当时，2fxx，若方程0(0)axafxa恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A.1,12B.0,2C.1,2D.1,【答案】A3.已知定义在R上的函数fx满足2fxfx，当1,3x时，21,1,1{12,1,3xxfxtxx，其中0t，若方程3xfx恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（）A.40,3B.2,23C.4,33D.2,3【答案】B【解析】由2fxfx，所以42fxfxfx，故fx的周期为4，1,2x时，1fxtx，2,3x时，3fxtx，5,6x时，5fxtx，6,7x时，7fxtx，0,3xtfx恰有3个不同的实数根，2221,762,233ttt，故选B.4.已知定义在R上的函数fx满足2fxfx，且fx是偶函数，当0,1x时，2fxx．令gxfxkxk，若在区间1,3内，函数0gx有4个不相等实根，则实数k的取值范围是A．0,B．10,2C．10,4D．11,43【答案】C【解析】由题意知，fx是定义在R上的周期为2的偶函数，令ykxk，作其与y=f(x)的图象如下，函数0gx有4个不相等实根，等价于ykxk与y=f(x)有4个交点，∴1{310kkkkk，解得104k,故选C．1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设𝑓∈𝑓，用[𝑓]表示不超过𝑓的最大整数，则𝑓=[𝑓]称为高斯函数,例如:[−2.1]=−3,[3.1]=3，已知函数𝑓(𝑓)=2𝑓+31+2𝑓+1,则函数𝑓=[𝑓(𝑓)]的值域为()A．(12,3)B．{0,1}C．{0,1,2}D．{0,1,2,3}【答案】C【解析】𝑓(𝑓)的定义域为𝑓，𝑓(𝑓)=2𝑓+31+2𝑓+1=12(2𝑓+1+1)+521+2𝑓+1=12+52·11+2𝑓+1，因为2𝑓+10，所以052·11+2𝑓+152，所以𝑓(𝑓)的值域为(12,3)，所以𝑓=[𝑓(𝑓)]的值域为{0,1,2}，故选C.2．定义在[𝑓,+∞)上的函数𝑓(𝑓)，𝑓(𝑓)单调递增，𝑓(𝑓)=𝑓(𝑓)=𝑓，若对任意𝑓𝑓，存在𝑓1,𝑓2(𝑓1𝑓2)，使得𝑓(𝑓1)=𝑓(𝑓2)=𝑓成立，则称𝑓(𝑓)是𝑓(𝑓)在[𝑓,+∞)上的“追逐函数”.若𝑓(𝑓)=𝑓2，则下列四个命题：①𝑓(𝑓)=2𝑓−1是𝑓(𝑓)在[1,+∞)上的“追逐函数”；②若𝑓(𝑓)=ln𝑓+𝑓是𝑓(𝑓)在[1,+∞)上的“追逐函数”，则𝑓=1；③𝑓(𝑓)=2−1𝑓是𝑓(𝑓)在[1,+∞)上【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行的“追逐函数”；④当𝑓≥1时，存在𝑓≥𝑓，使得𝑓(𝑓)=2𝑓𝑓−1是𝑓(𝑓)在[𝑓,+∞)上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】对于①，易得M＝1，∀k＞1，有𝑓12=2𝑓2−1＝k，即为𝑓1=√𝑓，𝑓2＝log2（k+1），当k＝100时，√𝑓＞log2（k+1），即不存在𝑓1＜𝑓2．对于②，𝑓(1)=1=𝑓(1)=m=𝑓，得m=M＝1，只需检验m=1时，是否符合题意，∀k＞1，有𝑓12＝1+ln𝑓2＝k，即为𝑓1=√𝑓，𝑓2＝ek﹣1，即有√𝑓＜ek﹣1⇔k＜e2k﹣2，由x＞1时，x﹣e2x﹣2的导数为1﹣2e2x﹣2＜0，即有x＜e2x﹣2，则存在𝑓1＜𝑓2；∴m=1满足题意对于③，易得M＝1，∀k＞1，有𝑓12＝2−1𝑓2=k，即为𝑓1=√𝑓，𝑓2=12−𝑓，当k＝4，不存在𝑓1＜x2．对于④，由题意𝑓(𝑓)=𝑓(𝑓)=𝑓=𝑓2=2mt−1，又𝑓≥1时，存在𝑓≥𝑓，取t=m+√𝑓2−1,此时𝑓=𝑓2，且k𝑓2,有𝑓12=2m𝑓2−1＝k，即为𝑓1=√𝑓，𝑓2=𝑓+12𝑓，令g（k）=√𝑓−𝑓+12𝑓=2𝑓√𝑓−𝑓−12𝑓，k𝑓2,∴√𝑓t，∴g（k）在（𝑓2，+∞）单调递减，∴g（k）g（𝑓2）=2𝑓t−𝑓2−12𝑓,又t=m+√𝑓2−1,∴g（𝑓2）=0，即g（k）0，∴𝑓1𝑓2，故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有②④故选：B．3．已知函数𝑓(𝑓)={𝑓𝑓𝑓,𝑓≥0−𝑓𝑓𝑓,𝑓0（𝑓是自然对数底数），方程𝑓2(𝑓)+𝑓𝑓(𝑓)+1=0(𝑓∈𝑓)有四个实数根，则𝑓的取值范围为（）A．(𝑓+1𝑓,+∞)B．(−∞,−𝑓−1𝑓)C．(−𝑓−1𝑓,−2)D．(2,𝑓+1𝑓)【答案】B【解析】函数𝑓(𝑓)={𝑓𝑓𝑓,𝑓≥0−𝑓𝑓𝑓,𝑓0，当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=-ex-xex=-ex（x+1），由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（-1，0）时，f′（x）=-ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e-1=1𝑓，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，1𝑓）内，一个根在（1𝑓，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（1𝑓）＜0，即（1𝑓）2+1𝑓t+1＜0，解得：t＜−𝑓−1𝑓．所以，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，−𝑓−1𝑓）．选B.4．设函数𝑓(𝑓)={|12𝑓−4|+1,𝑓≤1𝑓（x−2）2+𝑓,𝑓1，若存在互不相等的4个实数𝑓1，𝑓2，𝑓3，𝑓4，使得𝑓(𝑓1)𝑓1=𝑓(𝑓2)𝑓2=𝑓(𝑓3)𝑓3=𝑓(𝑓4)𝑓4=7，则𝑓的取值范围为（）A．(6,12)B．[6,12]C．(6,18)D．[6,18]【答案】C【解析】由题可知f(x)=7x有四个互不相等的实数根，当𝑓≤1时，|12𝑓−4|+1=7x解得x=519或𝑓=35，有两个不等实数根故当𝑓1时，𝑓（x−2）2+𝑓=7x有两个个不等的实数根即𝑓3−4𝑓2−3𝑓=−𝑓有两个不等的实数根令𝑓(𝑓)=𝑓3−4𝑓2−3𝑓则h′(x)=3𝑓2−8𝑓−3，令h′(x)=0解得x=−13或x=3所以函数𝑓(𝑓)在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增因为h(1)=−6,h(3)=−18所以−18−a−6即6a18故选C.5．已知函数f(x)满足𝑓(𝑓)+1=1𝑓(𝑓+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x,若在区间（-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（）A．[0,12)B．[12,+∞)C．[0,13)D．(0,12]【答案】D【解析】设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（x+1）=x+1．∵f（x）+1=1𝑓(𝑓+1)，可得f（x）={𝑓(0≤𝑓≤1)1𝑓+1−1(−1≤𝑓0)，方程f（x）﹣mx﹣x=0，化为f（x）=mx+m，画出图象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（﹣1，0），可得kMN=12．∵在区间（﹣1，1]上方程f（x）﹣mx﹣x=0有两个不同的实根，∴0𝑓≤12，故答案为：D6．已知𝑓(𝑓)是定义在𝑓上的偶函数，且𝑓∈𝑓时，均有𝑓(3+𝑓)=𝑓(2−𝑓)，2≤𝑓(𝑓)≤8，则满足条件的𝑓(𝑓)可以是（）A．𝑓(𝑓)=6+3cos2𝑓𝑓5B．𝑓(𝑓)=5+3sin𝑓𝑓5C．𝑓(𝑓)={2,𝑓∈𝑓8,𝑓∈𝑓𝑓𝑓D．𝑓(𝑓)={2,𝑓≤08,𝑓0【答案】C【解析】由题意，A中，函数𝑓(𝑓)=6+3cos2𝑓𝑓5，则3≤𝑓(𝑓)≤9，不满足2≤𝑓(𝑓)≤8，所以不正确；B中，函数𝑓(𝑓)=5+3sin𝑓𝑓5不满