2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题01 有理数（含解析）

专题01有理数【思维导图】【知识要点】知识点一有理数基础概念有理数（概念理解）正数：大于0的数叫做正数。负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。有理数的分类（两种）（见思维导图）数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.【注意】1.数轴是一条直线，可向两段无限延伸。2.在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）绝对值绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。绝对值的意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。）比较大小1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。3）两个负数比较，绝对值大的反而小。4）两个正数比较，绝对值大的反而大。常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。1．（2018·海南琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是()A．|+2|与|-2|B．-|+2|与+(-2)C．-(-2)与+(+2)D．|-(-3)|与-|-3|【详解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确．故选：D．2．（2019·四川中考真题）a一定是A．正数B．负数C．0D．以上选项都不正确【详解】∵a可正、可负、也可能是0∴选D.3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（）A．点A和点CB．点B和点CC．点A和点BD．点B和点D【详解】A、B、C、D所表示的数分别是2，1，-2，-3，因为2和-2互为相反数，故选A．4．（2013·江苏中考真题）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（）A．a＞bB．|a|＞|b|C．﹣a＜bD．a+b＜0【详解】根据数轴，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，A、应为a＜b，故本选项错误；B、应为|a|＜|b|，故本选项错误；C、∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴﹣a＜b正确，故本选项正确；D、应该是a+b＞0，故本选项错误．故选C．5．（2019·甘肃中考真题）已知1a，b是2的相反数，则ab的值为()A．-3B．-1C．-1或-3D．1或-3【详解】∵1a，b是2的相反数，∴1a或1a﹣，2b﹣，当1a时，121ab﹣﹣；当1a﹣时，123ab﹣﹣﹣；综上，ab的值为-1或-3，故选：C．考察题型一绝对值非负性应用1．（2016·山东中考真题）当1a2时，代数式|a－2|＋|1－a|的值是（）A．－1B．1C．3D．－3【详解】解：当1＜a＜2时，|a﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．故选B．2．（2019·山东中考模拟）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简2aba的结果是()A．2a－bB．bC．－bD．－2a+b【详解】根据数轴可以判断出0ab，则abab，2aa，所以2abaabab所以选C.3．（2017·广西中考模拟）若|x|=7|y|=5x+y0，，且，那么x-y的值是（）A．2或12B．2或-12C．-2或12D．-2或-12【详解】由x7可得x=±7，由y5可得y=±5，由x+y0可知：当x=7时，y=5；当x=7时，y=-5，则xy75122或，故选：A4．（2018·浙江中考模拟）如果|a|≥0，那么（）A．a＞0B．a＜0C．a≠0D．a为任意数【详解】解：∵0a，∴a为任意数，故选：D．5．（2017·湖北中考模拟）若|x﹣2|+|y+2|=0，求x﹣y的相反数．【详解】∵|x﹣2|+|y+2|=0，∴x﹣2=0，y+2=0，解得x=2，y=﹣2，∴x﹣y=2﹣（﹣2）=4，∴x﹣y的相反数是﹣4．6.（2017·广东中考模拟）已知|a+3|+|b﹣5|=0，求：（1）a+b的值；（2）|a|+|b|的值．【详解】（1）由题意得，a+3=0，b﹣5=0，解得a=﹣3，b=5，所以，a+b=﹣3+5=2；（2）|a|+|b|=|﹣3|+|5|=3+5=8．考查题型二有理数比较大小1．（2018·山东中考模拟）如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（）A．b为正数，c为负数B．c为正数，b为负数C．c为正数，a为负数D．c为负数，a为负数【解析】由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，如果假设两负一正情况合理，要使a+b+c=0成立，则必是b＜0、c＜0、a＞0，否则a+b+c≠0，但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，若a，b为正数，c为负数时，则：|a|+|b|＞|c|，∴a+b+c≠0，∴A被否定，若a，c为正数，b为负数时，则：|a|+|c|＞|b|，∴a+b+c≠0，∴B被否定，只有C符合题意．故选：C．2．（2019·北京中考模拟）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（）A．|a|＞|c|B．a+c＜0C．abc＜0D．0ab【详解】∵a+b=0，∴原点在a，b的中间，如图，由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，ab=-1，故选C.12．（2019·山东滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是()①b＜0＜a；②|b|＜|a|；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．A．①②B．①④C．②③D．③④【解析】由图知，b0a，故①正确，因为b点到原点的距离远，所以|b||a|,故②错误，因为b0a，所以ab0，故③错误，由①知a-ba+b，所以④正确.故选：B.4．（2018·湖北中考真题）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（）A．0B．﹣1C．0.5D．（﹣1）2【详解】根据有理数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2，∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1．故选B．5．（2018·山东中考真题）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A．|a|＞|b|B．|ac|=acC．b＜dD．c+d＞0【详解】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；C、b＜d，故选项正确；D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．故选：B.知识点二有理数四则运算有理数的加法（重点）有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）4.一个数同0相加，仍得这个数。有理数的加法运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即abba；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即abcabc。有理数的减法有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即abab。注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。有理数的加减混合运算规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算步骤：（1）减法化加法；（2）省略括号和加号；（3）运用加法运算律使计算简便；（4）运用有理数加法法则进行计算。注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：（1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合；（4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。有理数的乘法（重点）有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0.倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数0aa的倒数是1a）多个有理数相乘的法则及规律：（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。有理数的乘法运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即abba。乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即abcabc。乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即abcabac。有理数的除法有理数除法法则：（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即10ababb。（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，都得0。步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。有理数的乘除混合运算运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算）有理数的四则混合运算运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律1．（2018·江苏中考模拟）计算：|–5+3|的结果是（）A．–8B．8C．–2D．2【解析】原式=|-2|=2，故选：D．2.（2019·浙江中考真题）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是（）星期一二三四最高气温10℃12℃11℃9℃最低气温3℃0℃-2℃-3℃A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四【详解】星期一温差：10﹣3＝7℃；星期二温差：12﹣0＝12℃；星期三温差：11﹣（﹣2）＝13℃；星期四温差：9﹣（﹣3）＝12℃；综上，周三的温差最大.故选C．3．（2018·四川中考模拟）如果a，b是有理数，那么下列各式中成立的是（）A．如果a0，b0，那么a＋b0B．如果a0，b0，那么a＋b0C．如果a0，b0，那么a＋b0D．如果a0，b0，且|a||b|，那么a＋b0【解析】解：A、∵同号两数相加取与加数相同的符号，∴a+b0,故选项错误；B、如a=1,b=-2时，a+b=-10，故选项错误；C、如a=3,b=-2时，a+b＝１0，故选项错误；D、异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，故选项正确．故选D．4．（2019·辽宁中考模拟）计算25()77的正确结果是（）A．37B．-37C．1D．﹣1【详解】原式251.77故选：D.5．（2017·山东中考真题）计算－(－1)＋|－1|，其结果为()A．－2B．2C．0D．－1【解析】试题分析：由题可得：原式=1+1=2，故选：B．6．（2018·辽宁中考模拟）两个非零有理数的和为零，则它们的商是（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【详解】∵两个非零有理数的和为零，∴这两个数是一对相反数，∴它们符号不同，绝对值相等，∴它们的商是-1，故选A．7．（2019·内蒙古中考模拟）若−12的倒数与𝑚+4互为相反数，则𝑚的值是（）A．1B．−1C．2D．−2【详解】−12的倒数与m+4互为相