2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题13 二次函数（含解析）

专题13二次函数考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一二次函数的概念概念：一般地，形如𝑦=𝑦𝑦2+𝑦𝑦+𝑦（𝑦 ，  𝑦 ，  𝑦是常数，𝑦≠0）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数𝑦≠0，而𝑦 ，  𝑦可以为零．二次函数𝑦=𝑦𝑦𝑦+𝑦𝑦+𝑦的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵𝑦 ，𝑦 ，𝑦是常数，𝑦是二次项系数，𝑦是一次项系数，𝑦是常数项．1．（2017·甘肃中考模拟）下列函数中，是二次函数的有（）①𝑦=1−√2𝑦2②𝑦=1𝑦2③𝑦=𝑦(1−𝑦)④𝑦=(1−2𝑦)(1+2𝑦)A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】①y=1−√2x2=−√2x2+1，是二次函数；②y=1𝑦2，分母中含有自变量，不是二次函数；③y=x(1−x)=−x2+x，是二次函数；④y=(1−2x)(1+2x)=−4x2+1，是二次函数.二次函数共三个，故答案选C.2．（2013·湖南中考真题）下列函数是二次函数的是（）A．y=2x+1B．y=−2x+1C．y=x2+2D．y=12x−2【答案】C【详解】根据二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是y=x2+2。故选C。3．（2018·安徽中考模拟）下列函数不属于二次函数的是（）A．𝑦=(𝑦−1)(𝑦+2)B．21yx12C．𝑦=1−√3𝑦2D．22y2x32x【答案】D【详解】把每一个函数式整理为一般形式，A、𝑦=(𝑦−1)(𝑦+2)=x2+x-2，是二次函数，正确；B、21yx12=12x2+x+12，是二次函数，正确；C、𝑦=1−√3𝑦2，是二次函数，正确；D、22y2x32x=2x2+12x+18-2x2=12x+18，这是一个一次函数，不是二次函数，故选D.4．（2018·上海中考模拟）下列函数中是二次函数的是（）A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣1【答案】D【详解】A、y=2x﹣2，是一次函数，B、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1，是一次函数，C、当a=0时，y=a（x﹣1）2不是二次函数，D、y=2x2﹣1是二次函数．故选D．考查题型一待定系数法求二次函数解析式1．（2018·广东中考模拟）二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…下列说法正确的是()A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是直线x＝－52【答案】D【详解】将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得：{0=16𝑦−4𝑦+𝑦0=𝑦−𝑦+𝑦4=𝑦,解得：{𝑦=1𝑦=5𝑦=4，∴二次函数的解析式为y=x²+5x+4.A.a=10，抛物线开口向上，A不正确；B.−𝑦2𝑦=−52,当x⩾−52时，y随x的增大而增大，B不正确；C.y=x²+5x+4=(x+52)²−94,二次函数的最小值是−94，C不正确；D.−𝑦2𝑦=−52,抛物线的对称轴是x=−52，D正确.故选D.2．（2018·上海中考模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…－1012…y…0343…那么关于它的图象，下列判断正确的是()A．开口向上B．与x轴的另一个交点是(3，0)C．与y轴交于负半轴D．在直线x＝1的左侧部分是下降的【答案】B【详解】A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4．将（﹣1，0）代入，得a（﹣1﹣1）2+4=0，解得a=﹣2．∵a=﹣2＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项错误；B、抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；故选：B．考查题型二根据二次函数的定义求参数值1．（2012·山东中考真题）抛物线y=ax2+bx−3经过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A．3B．9C．15D．−15【答案】C【详解】∵抛物线y=ax2+bx−3经过点（2，4），∴4=4a+2b−3，即4a+2b=7。∴8a+4b+1=2(4a+2b)+1=2×7+1=15。故选C。2．（2018·安徽中考模拟）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1.【详解】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0解得m=0或m=1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．知识点2：二次函数的图象和性质（重点）二次函数的基本表现形式：①𝑦=𝑦𝑦2；②𝑦=𝑦𝑦2+𝑦；③𝑦=𝑦(𝑦−𝑦)2；④𝑦=𝑦(𝑦−𝑦)2+𝑦；⑤𝑦=𝑦𝑦2+𝑦𝑦+𝑦.第一种：二次函数𝑦=𝑦𝑦𝑦的性质（最基础）1.（2019·辽宁中考模拟）下列关于二次函数22yx的说法正确的是()A．它的图象经过点(−1,−2)B．它的图象的对称轴是直线𝑦=2C．当0x时，𝑦随𝑦的增大而减小D．当𝑦=0时，𝑦有最大值为0【答案】C【详解】A.它的图象经过点(−1,2)，A错误；B.它的图象的对称轴是直线𝑦=0，B错误；C.当𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而减小，正确；D.当𝑦=0时，𝑦有最小值为0,D错误.2．（2019·山东中考模拟）给出下列函数：①y＝2x﹣3；②y＝1𝑦；③y＝2x2；④y＝﹣3x+1．上述函数中符合条件“当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小”的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③【答案】C𝑦的符号开口方向顶点坐标对称轴性质𝑦0向上(0 ，  0)𝑦轴𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而增大；𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而减小；𝑦=0时，𝑦有最小值0．𝑦0向下(0 ，  0)𝑦轴𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而减小；𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而增大；𝑦=0时，𝑦有最大值0．【详解】①y＝2x﹣2，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项错误；②y＝1𝑦，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；③y＝2x2，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项错误；④y＝﹣3x，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；故选C．第二种：二次函数𝑦=𝑦𝑦𝑦+𝑦的性质1．（2013·江苏中考模拟）关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法中正确的是（）A．它的开口方向是向下B．当x＜－1时，y随x的增大而减小C．它的顶点坐标是（2，3）D．当x＝0时，y有最大值是3【答案】B【详解】A、∵a=2＞0，故它的开口方向是向上，故此选项错误；B、在y轴左侧，y随x的增大而减小，故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确；C、它的顶点坐标是（0，3），故此选项错误；D、当x=0时，y有最小值是3，故此选项错误；故选：B．2．（2017·黑龙江中考模拟）二次函数𝑦=2𝑦2−3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线与𝑦轴有两个交点C．抛物线的对称轴是直线𝑦=1D．抛物线经过点（2,3）【答案】B【详解】𝑦的符号开口方向顶点坐标对称轴性质𝑦0向上(0 ，  𝑦)𝑦轴𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而增大；𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而减小；𝑦=0时，𝑦有最小值𝑦．𝑦0向下(0 ，  𝑦)𝑦轴𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而减小；𝑦0时，𝑦随𝑦的增大而增大；𝑦=0时，𝑦有最大值𝑦．A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，故选B．3．（2019·山东中考真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；③抛物线的对称轴是y轴；④抛物线的顶点坐标是（0，1）；⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；③抛物线的对称轴𝑦=−𝑦2𝑦=0，是y轴，故本小题正确；④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；综上所述，正确的有②③④⑤共4个．故选B．4．（2018·河北中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（）A．n＞3或n＜﹣1B．n＞3C．n＜1D．n＞3或n＜1【答案】A【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2），∵抛物线开口向下，∴y1＜y2时，n＞3或n＜﹣1，故选：A．第三种：二次函数𝑦=𝑦(𝑦−𝑦)𝑦的性质1（2019·四川中考模拟）对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是𝑦=3C．最大值为0D．与y轴不相交【答案】D【详解】对于函数y=-2(x-3)2的图象，∵a=-2＜0，∴开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为(3，0)，函数有最大值0，故选项A、B、C正确，选项D错误，故选D．2（2019·湖北中考模拟）关于二次函数y＝12(x+1)2的图象，下列说法正确的是()A．开口向下B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是(﹣1，0)【答案】D【详解】二次函数y＝12(x+1)2中a=120，所以抛物线开口向上，当x=0时，y=12，所以图象不经过原点，𝑦的符号开口方向顶点坐标对称轴性质𝑦0向上(ℎ ，  0)X=h𝑦ℎ时，𝑦随𝑦的增大而增大；𝑦ℎ时，𝑦随𝑦的增大而减小；𝑦=ℎ时，𝑦有最小值0．𝑦0向下(ℎ ，  0)X=h𝑦ℎ时，𝑦随𝑦的增大而减小；𝑦ℎ时，𝑦随𝑦的增大而增大；𝑦=ℎ时，𝑦有最大值0．因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的，由解析式可知顶点坐标为(-1，0)，所以选项A、B、C是错误的，D是正确的，故选D.3（2019·山东中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数𝑦=𝑦(𝑦−ℎ)2（𝑦≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】二次函数2()yaxh（𝑦≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选D．第四种：二次函数𝑦=𝑦(𝑦−𝑦)𝑦+𝑦的性质二次函数𝑦=𝑦𝑦2+𝑦𝑦+𝑦用配方法可化成：𝑦=𝑦(𝑦−𝑦)2+𝑦的形式，其中ℎ=−𝑦2𝑦，𝑦=4𝑦𝑦−𝑦24𝑦.1.2019·广东中考模拟）关于抛物线𝑦=2(𝑦−1)2+1，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与𝑦轴只有