山西省平遥中学校2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理

平遥中学2018—2019学年度第二学期高二期中考试数学试题（理科）本试卷满分：150分考试时间:120分钟一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分)1．设复数iiz12，则z（）A．22B．25C．210D．2152．若yfx是函数yfx在区间,ab上的导函数，且0,xab，04fx，则0002limhfxfxhh的值为（）A.2B.8C.4D.123．已知：0,x，观察下列式子：221442,322xxxxxxx类比有1naxnnNx,则a的值为（）A.nnB.nC.2nD.1n4．设函数axaxxf34)1()(．若)(xf为偶函数，则)(xf在1x处的切线方程为（）A．45xyB．35xyC．24xyD．34xy5．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222nnnnn时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．222)1(kkB．22)1(kkC．2)1(kD．]1)1(2)[1(312kk6．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．24B．27C．30D．367．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A．甲、乙可以知道对方的成绩B．甲、乙可以知道自己的成绩C．乙可以知道四人的成绩D．甲可以知道四人的成绩8．设函数219ln2fxxx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A.[－∞，2)B.(1，2]C.(0，3]D.(4，＋∞]9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(e)x+lnx（e为自然对数的底数），则f′(e)=（）A.1eB．eC.-1eD．-e10．函数323922yxxxx有（）A．极大值5，极小值－27；B．极大值5，极小值－11；C．极小值－27，无极大值；D．极大值5，无极小值；11．若点P是曲线232ln2yxx上任意一点，则点P到直线52yx的距离的最小值为()A.322B.332C.2D.512.设)0(25)(,12)(2aaaxxgxxxf，若对于任意]1,0[1x，总存在]1,0[0x，使得01()gxfx成立，则a的取值范围是（）A.4,B.50,2C.5,42D.5,2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.120021sinxdxxdx______14．设i为虚数单位，则234201iiiii=_________.15．对于三次函数dcxbxaxxf23)(（0a），定义：设)(xf是函数y＝f(x)的导数y＝)(xf的导数，若方程)(xf＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数3231()324fxxxx，则它的对称中心为_________.16．已知函数1623xaaxxxf有极大值和极小值，则a的取值范围是三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）设z1是虚数，z2＝z1＋1z1是实数，且－1≤z2≤1.（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．（2）若ω＝1－z11＋z1，求证：ω为纯虚数．18．（本小题满分12分）用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．19．设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数22()ln,()fxxmxhxxxa，（1）当0a时，()()fxhx在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数3221()(1)(,)3fxxaxaxbabR（1）若()yfx的图象在点(1,(1))f处的切线方程为30xy，求()fx在区间[2,4]上的最大值；（2）当0a时，若()fx在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围．22.（本小题满分12分）．已知)(11)(Raexxxfax（1）设0a，讨论)(xf的单调性；（2）若对任意的)1,0(x，恒有1)(xf，求a的范围平遥中学2018—2019学年度第二学期高二年级期中考试数学试题（理科）参考答案与评分标准一、选择题：(本大题包括12小题，每小题5分)CBACBCBBCDAC二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分)三、13.2214.1151,2116.63aa或四、解答题：(本大题共6小题,17题10分，其它题都是12分)17.解：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋1z1＝a＋bi＋1a＋bi＝a＋aa2＋b2＋b－ba2＋b2i.因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，................4分还可得z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－12≤a≤12，即z1的实部的取值范围是－12，12....................7分(2)ω＝1－z11＋z1＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi(1＋a)2＋b2＝－ba＋1i.因为a∈－12，12，b≠0，所以ω为纯虚数．...........10分18.证明(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立19、解：对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴x＝32是极小值点，x＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合f′(x)与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，又a＞0，故0＜a≤1.20.【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤xlnx在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝xlnx，则g′(x)＝lnx－1(lnx)2，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e........6分(2)由已知可知k(x)＝x－2lnx－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－2x＝x－2x，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln3，φ(2)＝2－2ln2，且φ(1)φ(3)φ(2)0，所以2－2ln2a≤3－2ln3.所以实数a的取值范围为(2－2ln2,3－2ln3]．.......12分21.（本小题满分12分）解：（1）∵(1,(1))f在30xy上．∴(1)2f∵(1,2)在()yfx上，∴21213aab又(1)1f，∴21211aa∴2210aa，解得81,3ab∴22218(),()233fxxxfxxx由()0fx可知0x和2x是()fx的极值点．∵84(0),(2),(2)4,(4)833ffff（此处可列表）∴()fx在区间[2,4]上的最大值为8．（2）因为函数()fx在区间(1,1)不单调，所以函数()fx在(1,1)上存在零点．而()0fx的两根为1a，1a，区间长为2，∴在区间(1,1)上不可能有2个零点．所以(1)(1)0ff，即2(2)(2)0aaa．∵20a，∴(2)(2)0,22aaa．又∵0a，∴(2,0)(0,2)a22.(1)定义域),1()1,……………………………………1分axexaaxxf22)1(2)(……………………………………2分当2a时，令0)(xf得12xaa或1x或aax2，)(xf为增函数；令0)(xf得aaxaa22，)(xf为减函数当20a时，0)(xf，)(xf为),1(),1,上的增函数当2a时，在),1(),1,0(),0,0)(xf，)(xf为),1(),1,上的增函数……………………………………6分（2）由（1）得：当20a时，)(xf为)1,0(上的增函数，,1)0()(fxf符合题意；当2a时，)(xf在)1,2(aa增函数，在)2,0(aa减函数，对任意的0x)2,0(aa，,1)0()(fxf不符合题意；…………………………10分当0a时，令0)(xf得aaxaa22，由12aa得)(xf在)1,0(为增函数，,1)0()(fxf符合题意；当0)(,0xfa，)(xf在)1,0(为增函数，,1)0()(fxf符合题意；综上，2a……………………………………12分