山西省太原市2019届高三数学模拟试题（一）理（含解析）

太原市2019年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集运算,本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数的真数要大于零.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出.【详解】，故本题选C.【点睛】本题考查复数的除法运算.3.下列命题中的真命题是（）A.若，则向量与的夹角为钝角B.若，则C.若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D.命题“，”的否定是“，”【答案】D【解析】【分析】对于选项A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C:命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项D：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项A是假命题；选项B:或者，所以选项B是假命题；选项C:命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。【详解】，因为，所以，原式故本题选B。【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。重点考查了同角三角函数之间的关系。5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A.B.C.1D.0【答案】A【解析】【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。【详解】，把（0，0）代入方程中，，=，故本题选A。【点睛】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程。6.已知等比数列满足，则（）A.5B.-5C.7D.-7【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质，可以求出的值，连同已知，可以求出的值，进而求出首项和公比，分类求出的值。【详解】等比数列有，而，联立组成方程组，或，设公比为当时，解得，当时，解得，，故本题选D。【点睛】本题考查了等比数列的性质、通项公式。7.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A.12B.15C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积。【详解】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5.底面四边形可以分割成二个三角形，面积，体积，故本题选D。【点睛】本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积。8.在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出平面区域的面积，找到的成立条件，利用几何概型的公式求解。【详解】画出平面区域图中边界及内部是所表示的平面区域，如下图所示：，它表示在已知平面区域内，圆心(2,0)，半径为的圆外（包括圆周），如上图所示：解方程组：，，在已知平面区域内，圆心(2,0)，半径为的圆内（包括圆周）的面积为，所求的概率，故本题选A。【点睛】本题考查了几何概型,解决本题的关键是对存在，使得点的坐标满足，这句话的理解。9.已知数列的前项和满足，则（）A.196B.200C.D.【答案】B【解析】【分析】已知递推公式再递推一步，得到两个递推公式，相减，对这个式子分类讨论，求出需要的项，然后求值。【详解】（1）当时，（2），（1）-（2）得;,当为偶数时，，当时，，当为奇数时，，时，。【点睛】本题考查了数列的递推公式,重点考查了分类讨论思想。10.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】由，可知是直角三角形，且,斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点,所以，在中，利用同角的三角函数之间的关系，求出的值，然后求出的值，利用双曲线的定义，可求出曲线的离心率。【详解】因为，所以是直角三角形，且,由意可知，所以有，，由双曲线定义可知：，故本题B。【点睛】本题考查了双曲线的定义以及离心率。11.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先对对数换元，然后构造函数，结合已知，判断构造的函数的单调性，最后求出不等式的解集。【详解】令,构造函数，由已知可知：，所以是上的减函数，当时，，，所以当时，成立，也就是当时，成立，故本题选A。【点睛】本题考查了通过构造函数，利用导数求不等式解集的问题。关键是换元法、构造函数法。12.已知函数（，）满足，，且在上是单调函数，则的值可能是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断。【详解】函数满足，所以函数关于对称，同时又满足，所以函数又关于对称，设周期为,,而显然是奇数，当=3时，，关于对称，而，，，显然不单调；当=5时，，关于对称，，而，，，，显然单调，故本题选C。【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周期和对称轴的表达式是关键.二、填空题。13.抛物线的准线方程为_______.【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。故答案为：。14.已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.【答案】15【解析】【分析】令，可以求出，利用二项展开式的通项公式，求出常数项。【详解】已知的展开式的所有项的系数和为64，令，得，二项展开式的通项公式为，令，所以常数项为。【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式。重点考查了二项展开式中的常数项。15.如图，正方体的棱长为4，点在棱上，且，是面内的正方形，且，是面内的动点，且到平面的距离等于线段的长，则线段长度的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】过作,连接,则,当最小时，最小，利用空间直角坐标系，求出的表达式，求出最小值，最后求出长度的最小值。【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：过作,连接,则,当最小时，最小。因为到平面的距离等于线段的长，所以时，有最小值6，所以的最小值为22，.【点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题。16.已知函数，，其中，若恒成立，则当取最小值时，______.【答案】1【解析】【分析】把不等式变形为：，因此可以考虑直线与相切的情况。设出切点的坐标为，根据导数的几何意义，得出的方程，构造函数，利用导数，求出的最小值，也就能求出的值。【详解】由，可得，设直线与相切于点，，，所以有，，设，构造函数，，所以当时，有最小值，也就有当时，有最小值，此时所以.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,解决本题的关键是转化为函数问题，利用导数得出最值.三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.（1）求；（2）求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出。（2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面积。【详解】解（1），由得，由余弦定理得，，:（2）连接，如下图：是的中点，，，，在中，由正弦定理得，，，，，，，，，，，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式。18.如图，在五面体中，面是直角梯形，，，面是菱形，，，.（I）证明：；（I）已知点在线段上，且，若二面角的大小为，求实数的值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）通过菱形的性质可以得到，通过计算，由勾股定理的逆定理，可以得到，已知，能推出，也就能推出面，最后证出（2建立空间直角坐标系，分别求出平面DFP和平面的法向量，利用空间向量数量积，求出的值。【详解】（1）证明：是菱形，，，，，，，，，面，；.（2）由（I）知以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立如下图的空间直角坐标系，由题设可得，，，，，.，设是平面DFP的一个法向量，则令，则=，，由（1）可知是平面的一个法向量，二面角的大小为60°，，.【点睛】本题考查了线线垂直，利用空间向量数量积求参数。19.为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中（单位：天）表示活动推出的天次，（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.表1：x第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天y71220335490148（1）由散点图分析后，可用作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次关于活动推出天次的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.表2：4523.51402069112表中，.（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.表3：支付方式现金乘车卡扫码频率10%60%30%优惠方式无优惠按7折支付随机优惠(见下面统计结果)统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为，享受7折支付的频率为，享受9折支付的频率为.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求的分布列和期望.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据：，，.【答案】(1)，人次为2447(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意得，利用所给的公式求出，，求出关于的线性回归方程，然后预测第8天的使用扫码支付的人次；（2）由题意得的所有取值为0.5，0.7，0.9，1，求出所有取值的概率，然后列出分布列，算出期望。【详解】解：（1）由题意得，，，关于的线性回归方程为，关于的回归方程为，当时，，第8天使用扫码支付的人次为2447；（2）由题意得的所有取值为0.5，0.7，0.9，1，，，，，的分布列为：0.50.70.91P0.100.750.050.10【点睛】本题考查了线性回归方程、离散型随机变量公布列、数学期望。20.已知椭圆的左、右焦点分别是，，，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两个不同点，证明：直线与的交点在一条定直线上.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义，可求出周长的表达式，当点是椭圆的上（或下）顶点时，面积有最大值为，列出等式，结合，求出椭圆方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线与的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论。【详解】解：（1）由题意得椭圆的方程为；（2）由（1）得，，，设直线的方程为，，，由，得，，，，直线的方程为，直线的方程为，，，，直线与的交点在直线上.【点睛】本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、定直线问题。21.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当，时，若对于任意，都存在，使得，证明：.【答案】(1)①当时，在上单调递增；②当时，在上单调递增，在单调递减；(2)见证明【解析】【分析】（1）求导，分类讨论函数的正负性，求出单调区间；（2）对式子进行化简，结合，得到，计算的值，令，，，利用导数判断的单调性，证出，设，，则，在上单调递增，.