山西省应县第一中学校2019-2020学年高二数学上学期月考三试题 理

山西省应县第一中学校2019-2020学年高二数学上学期月考三试题理时间：120分钟满分：150分一．选择题（12*5=60分）1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α为()A．0B.π4C.π2D．不存在2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－y＋1＝0B.3x－y－3＝0C.3x＋y－3＝0D.3x＋y＋3＝03．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是()A.OP→＝OA→＋OB→＋OC→B.OP→＝13OA→＋13OB→＋13OC→C.OP→＝－OA→＋12OB→＋12OC→D．以上都不对4．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝25．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为()A．－3B．－43C．2D．36．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．32B．22C．33D．427．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于()A.105B.155C.45D.238．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是()A．(－6，－2)B．(－5，－3)C．(－∞，－6)D．(－2，＋∞)9．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A．36B．66C．33D．6310．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.12B．1C.22D.211.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为()A．2B．1C.83D.4312．已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线l：3x＋2y－4＝0上，若在圆C上总存在两个不同的点A，B，使OA―→＋OB―→＝OP―→，则x0的取值范围是()A.0，2413B.－2413，0C.0，1324D.0，1312二．填空题.13.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=.14.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则动点P的轨迹方程是.15．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝.16．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．三．解答题。17．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19.已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．20．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形．将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.(1)求证：BE1⊥DC；(2)求证：DM∥平面BCE1；21.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；（2）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？22．已知点G(5,4)，圆C1：(x－1)2＋(y－4)2＝25，过点G的动直线l与圆C1相交于E，F两点，线段EF的中点为C，且C在圆C2上．(1)若直线mx＋ny－1＝0(mn0)经过点G，求mn的最大值；(2)求圆C2的方程；(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，求证：|AM|·|AN|为定值．高二月考三理数答案2019.11一．选择题123456789101112CDBBDABACDDA11以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0t4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝4－t4＋t·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知G43，43.因为重心G43，43在光线RQ上，所以有43＝4－t4＋t43＋t，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝43，因为0t4，所以t＝43，即|AP|＝43，故选D.12．选C如图，∵OA―→＋OB―→＝OP―→，∴OP与AB互相垂直平分，∴圆心到直线AB的距离x20＋y2021，∴x20＋y204.①又3x0＋2y0－4＝0，∴y0＝2－32x0，代入①得x20＋2－32x024，解得0x02413.∴实数x0的取值范围是0，2413.二．填空题.13．-814.(x-1)2+y2=215.3或016.2－22，2＋2216.如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°，在Rt△PAO中，|PO|＝2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M(a，a－4)，∴|PO|min＝|MO|－1，|PO|max＝|MO|＋1，∵|MO|＝a2a－42，∴由a2a－42－1≤2≤a2a－42＋1，解得2－22≤a≤2＋22.答案：2－22，2＋22三．解答题。17．解(1)联立两直线方程3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x－2y－1＝0的斜率为k1＝12，所求直线垂直于直线x－2y－1＝0，那么所求直线的斜率k＝－112＝－2，∴所求直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0．(2)对于方程2x＋y＋2＝0，令y＝0则x＝－1，则直线与x轴交点坐标A(－1，0)，令x＝0则y＝－2，则直线与y轴交点坐标B(0，－2)，直线l与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB，∴S＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．18．解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，则a－222a＋12＝|a－2a－1|2.化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝1－222＋12＝2.∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得|k＋2|1＋k2＝1，解得k＝－34，∴直线l的方程为y＝－34x，即3x＋4y＝0.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.19.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝11，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝11＋4，|r1－r2|＝4－11，∴|r1－r2|dr1＋r2，∴圆C1和C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.20．解：(1)证明：因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，BE1⊂平面ABE1F1，所以BE1⊥平面ABCD.因为DC⊂平面ABCD，所以BE1⊥DC.(2)证明：因为四边形ABE1F1为矩形，所以AM∥BE1.因为AM⊄平面BCE1，BE1⊂平面BCE1，所以AM∥平面BCE1.因为AD∥BC，AD⊄平面BCE1，BC⊂平面BCE1，所以AD∥平面BCE1.又AD∩AM＝A，所以平面ADM∥平面BCE1.因为DM⊂平面ADM，所以DM∥平面BCE1.21.解（Ⅰ）∵平面ABCD平面,ABEFCBAB，平面ABCD平面ABEFAB，∴CB平面ABEF，∵AF平面ABEF，∴AFCB，又∵AB为圆O的直径，∴AFBF，∴AF平面CBF，∵AF平面ADF，∴平面DAF平面CBF………5分（Ⅱ）设EF中点为G，以O为坐标原点，OAOGAD、、方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)ADtt，则点D的坐标为1,0,t，则1,0,Ct，又131,0,0,1,0,0,,,022ABF，∴，设平面DCF的法向量为1,,nxyz，则，即20{302xytz，令3z，解得0,2xyt．∴10,2,3nt．由（1）可知AF平面CFB，取平面CBF的一个法向量为213,,022nAF，∴12012·cos60nnnn，即231243tt，解得64t，因此，当AD的长为64时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°.22．解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上，∴5m＋4n＝1,5m＋4n≥220mn(当且仅当5m＝4n时取等号)，∴1≥80mn，即mn≤180，∴(mn)max＝180.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，设C(x，y)，则C1C―→＝(x－1，y－4)，CG―→＝(5－x,4－y)，由题设知C1C―→·CG―→＝0，∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，∴C2的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝4.(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．由直线l1与圆C2相交，得|3k－4－k|k2＋12，解得k34.由x＋2y＋2＝0，kx－y－k＝0得N2k－22k＋1，－3k2k＋1，又直线C2M与l1垂直，由y＝kx－k，y－4＝－1kx－3得Mk2＋4k＋31＋k2，4k2＋2k1＋k2，∴|AM|·|AN|＝k2＋4k＋31＋k2－12＋4k2＋2k1＋k22·2k－22k＋1－12＋－3k2k＋12＝2|2k＋1|1＋k2·1＋k2·31＋k2|2k＋1|＝6(定值)．