陕西省2019年中考数学解答专项 二次函数与三角形判定练习

二次函数与三角形判定1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于C(0，－3)，顶点为D.(1)求抛物线表达式；(2)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过A(－1，0)、C(0，－3)，∴301ccb，解得32cb，∴抛物线表达式为y＝x2－2x－3；(2)由(1)知抛物线对称轴为x＝－b2a＝1，则设N(1，n)，易知B(3，0)，则BN＝4＋n2，NC＝231n，BC＝32，如解图，连接NC、NB，①若∠BNC＝90°，则BC2＝BN2＋NC2，即18＝4＋n2＋1＋9＋6n＋n2，∴n2＋3n－2＝0，∴解得n＝－3±172，∴N(1，2173)或N(1，2173)；②若∠NBC＝90°，则NC2＝BN2＋BC2，即1＋9＋6n＋n2＝4＋n2＋18，第1题解图∴n＝2，∴N(1，2)；③若∠NCB＝90°，则BN2＝NC2＋BC2，即4＋n2＝1＋9＋6n＋n2＋18，∴n＝－4，∴N(1，－4)．综上，当N(1，2173)或N(1，2173)或N(1，2)或N(1，－4)时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形．2.已知抛物线y＝－x2＋2x＋m－1过原点O，与x轴的另一个交点为A，顶点为D，我们称由抛物线的顶点和与x轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”．(1)求m的值；(2)判断该“顶点△ADO”的形状，并说明理由；(3)将此抛物线平移后，经过点C(1，0)，且“顶点三角形”为等边三角形，求平移后的抛物线表达式．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋m－1经过坐标原点，∴把(0，0)代入表达式得m－1＝0，∴m＝1；(2)该“顶点△ADO”为等腰直角三角形．理由如下：如解图①，∵m＝1，∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x，变形为y＝－(x－1)2＋1，∴点D坐标为(1，1)，∴OD＝2.把y＝0代入表达式得，x1＝0，x2＝2，∴A点坐标为(2，0)，∴AD＝2，OA＝2，∴OD＝AD，OA2＝OD2＋AD2，∴∠ADO＝90°，∴△ADO为等腰直角三角形；图①图②第2题解图(3)如解图②，设所求抛物线表达式为y＝－x2＋bx＋c，∵抛物线经过点C(1，0)，∴b＋c＝1①，设点D′为平移后抛物线顶点，∴D′(b2，4c＋b24)，∵tan∠D′CE＝tan60°＝4c＋b24b2－1＝3②，①②两式联立，解得b＝23＋2，c＝－23－1，(b＝2，c＝－1舍去)∴平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋(23＋2)x－1－23.3.已知抛物线y＝－x2＋2x－3.(1)说明抛物线与x轴的交点情况以及抛物线在坐标系中经过的象限；(2)将抛物线y＝－x2＋2x－3平移，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点，且点B的坐标为(2，0)，顶点为点M.若△ABM恰好是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的表达式．解：(1)∵b2－4ac＝4－12＝－80，∴抛物线与x轴没有交点；∵a＝－10，∴抛物线开口向下，∴抛物线过第三、四象限；(2)∵抛物线是轴对称图形，∴MA＝MB，若△ABM恰好是直角三角形，则MA⊥MB，设M(a，b)，则平移后抛物线的表达式为y＝－(x－a)2＋b，如解图，①当点A1在点B左侧时，过点M1作M1C1⊥x轴于点C1，则BC1＝M1C1＝2－a＝b，第3题解图∴y＝－(x－a)2＋2－a，把(2，0)代入y＝－(x－a)2＋2－a，得0＝－(2－a)2＋2－a，即a2－3a＋2＝0，解得a1＝1，a2＝2(不符合题意，舍去)，∴平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1；②当点A2在点B右侧时，过点M2作M2C2⊥x轴于点C2，则BC2＝M2C2＝a－2＝b，∴y＝－(x－a)2＋a－2，把(2，0)代入y＝－(x－a)2＋a－2，得0＝－(2－a)2＋a－2，即a2－5a＋6＝0，解得a1＝3，a2＝2(不符合题意，舍去)，∴平移后抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋1.综上所述，平移后抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1或y＝－(x－3)2＋1.