陕西省2019年中考数学试题研究 类型3 二次函数与图形面积练习

类型3二次函数与图形面积6.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于C点，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式及C点坐标；(2)若点P是抛物线对称轴上一点，求PA＋PC的最小值；(3)过点D作DE⊥x轴于点E，连接CD、CE，则在抛物线上是否存在点F，使得S△ABF＝S△CDE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，∴抛物线的表达式为y＝(x－1)(x－3)，即抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3；令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)；(2)抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝－－42＝2，抛物线与y轴交于C(0，3)，∵点A和点B关于对称轴对称，∴要使得PA＋PC取得最小值，只需PB＋PC最小即可，当点P、B、C三点共线时，PB＋PC最小，最小值为BC长，∵B(3，0)，C(0，3)，∴BC＝32，∴PA＋PC的最小值为32；(3)存在．∵点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于E点，∴D(2，－1)，E(2，0)，∴DE＝1，OE＝2，∴S△CDE＝12DE·OE＝1，∵AB＝2，S△ABF＝S△CDE＝1，∴AB边上的高h＝1，∴点F的纵坐标为1或－1，当y＝1时，x2－4x＋3＝1，解得x＝2±2，∴F1(2＋2，1)，F2(2－2，1)；当y＝－1时，x2－4x＋3＝－1，解得x＝2，∴F3(2，－1)，∴抛物线上存在点F1(2＋2，1)，F2(2－2，1)和F3(2，－1)，使得S△ABF＝S△CDE.7.已知抛物线C1：y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线C1的函数表达式；(2)求点A、B的坐标；(3)将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，若点D是抛物线C1第一象限内上的一个动点，过点D作DP⊥x轴交抛物线C2于点P，求以A、C、D、P为顶点的四边形面积的最大值．解：(1)∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴x＝－b2×（－1）＝1，解得b＝2，∵抛物线过点C(0，3)，∴c＝3，∴抛物线C1的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵点A在点B的右侧，∴点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(－1，0)；(3)∵抛物线C2是由抛物线C1沿x轴翻折得到的，∴抛物线C2的开口方向向上，开口大小与抛物线C1相同，且抛物线C2的顶点与抛物线C1的顶点关于x轴对称．∵抛物线C1：y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)，则抛物线C2的顶点坐标为(1，－4)，∴抛物线C2的函数表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.∵点D是抛物线C1在第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m，∴0m3，且点D的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，∵DP⊥x轴交抛物线C2于点P，∴点P的坐标为(m，m2－2m－3)，∴DP＝(－m2＋2m＋3)－(m2－2m－3)＝－2m2＋4m＋6，S四边形ADCP＝S△CDP＋S△ADP＝12DP·xD＋12DP·(xA－xD)＝12DP·xA＝12(－2m2＋4m＋6)·3＝－3m2＋6m＋9.∵S四边形ADCP＝－3m2＋6m＋9＝－3(m－1)2＋12，∴当m＝1时，S四边形ADCP有最大值，最大值为12.8.已知m、n是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且mn，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)．(1)求该抛物线的表达式；(2)如图，设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标．第8题图解：(1)解方程x2－6x＋5＝0，即(x－1)(x－5)＝0，解得x1＝5，x2＝1，由mn，有m＝1，n＝5，∴点A、B的坐标分别为A(1，0)，B(0，5)．将A(1，0)、B(0，5)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得－1＋b＋c＝0c＝5，解得b＝－4c＝5，∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5；(2)由(1)得y＝－x2－4x＋5，令y＝0，得－x2－4x＋5＝0，解得x1＝－5，x2＝1，∴C点的坐标为(－5，0)．∵y＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，∴顶点D的坐标为(－2，9)，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点M，连接BM.第8题解图①∴M(－2，0)，则S△DMC＝12×9×(5－2)＝272，S△BDM＝12×2×9＝9，S△BCM＝12×(5－2)×5＝152，∴S△BCD＝S△DMC＋S△BDM－S△BCM＝272＋9－152＝15；(3)如解图②，设P点的坐标为(a，0)，第8题解图②∵B(0，5)，C(－5，0)，∴BC所在的直线方程为y＝x＋5.∴PH与直线BC的交点为E(a，a＋5)，PH与抛物线y＝－x2－4x＋5的交点为H(a，－a2－4a＋5)．①当EH＝32EP时，即(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝32(a＋5)，解得a＝－32或a＝－5(舍去)；②当EH＝23EP时，即(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝23(a＋5)，解得a＝－23或a＝－5(舍去)，综上所述，P点的坐标为(－32，0)或(－23，0)．