上海市黄浦区2019届高三数学上学期（1月）期末调研测试试题（含解析）

黄浦区2018学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题．一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．1.不等式的解集为________【答案】【解析】因为所以，即不等式的解集为.2.双曲线的渐近线方程为_________.【答案】【解析】双曲线中，，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为.3.若复数(为虚数单位)，则的共轭复数为（）．【答案】【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】若复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，则共轭复数为2i，故答案为：2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.记等差数列()的前项和为．若，则．【答案】【解析】【分析】由a5＝1，利用等差数列的性质可得a1+a9＝2a5．再利用求和公式即可得出．【详解】∵a5＝1，∴a1+a9＝2a5．则S99a5＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.若函数是函数(，且)的反函数，且，则．【答案】log2x【解析】f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.6.已知，，若，则的最小值为．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式，可求．【详解】∵a＞0，b＞0，a+b＝4，又，则a2+b2≥8，即最小值为8．当且仅当a=b=2时取得，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式，求解最值的应用，属于中档题．7.已知三阶行列式，元素的余子式的值与代数余子式的值之和为．【答案】【解析】【分析】元素8的余子式为：6，元素8的代数余子式为：（﹣1）56，由此能求出元素8的余子式的值与代数余子式的值之和．【详解】∵三阶行列式，∴元素8的余子式为：6，元素8的代数余子式为：（﹣1）56，∴元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为：﹣6+6＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查行列式的余子式与代数余子式之和的求法，考查余子式、代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.设，若展开式中的系数为，则．【答案】【解析】【分析】把（1+x）5按照二项式定理展开，可得x2的系数，再根据x2的系数为10，求得实数a的值．【详解】∵（2）（1+x）5＝（2）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故x2的系数为20+10a＝10，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．【答案】96【解析】排列组合应用问题，弄清题意。从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类，甲为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有，乙为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有，则有．【此处有视频，请去附件查看】10.已知数列()，若，，则．【答案】【解析】【分析】由已知推导出=(，=1+（），从而-=-，由此能求出【详解】∵数列满足：，，∴（）+（）+……+（）=++……+==(，∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（），即=1+（）∴-=-∴--，故答案为：-【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．11.在边长为的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，若与的夹角记为，其中，且，则的最大值为（）．【答案】【解析】【分析】由向量的投影的几何意义有：||cosθij的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在直角三角形AED中，向量在向量方向上的投影最大，即可得解．【详解】由向量的投影的几何意义有：||cosθij的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在向量方向上的投影最大，此时三角形AED为直角三角形，其中AD与AE垂直，又正六边形边长为1，所以AD=2,AE=,所以在向量方向上的投影为AE=，故答案为：．【点睛】本题考查了向量的投影的几何意义，属于中档题．12.如图，、是过点夹角为的两条直线，且与圆心为，半径长为的圆分别相切，设圆周上一点到、的距离分别为、，那么的最小值为（）．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得|OM|＝2，建立坐标系，分析可得l1、l2的关于y轴对称，据此设出直线l1与l2的方程，P（cosθ，sinθ），由此表示2d1+d2，结合三角函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，l1、l2是过点M夹角为的两条直线，且与圆心为O，半径r＝1的圆分别相切，则|OM|＝2r＝2，如图建立坐标系，以圆心O为坐标原点，OM为y轴建立坐标系，M（0，2），又由l1、l2是过点M夹角为的两条直线，则l1、l2的关于y轴对称，易得l1、l2的倾斜角为和，则设l1的方程为yx+2，l2的方程为yx+2，P是圆周上的一个动点，设P（cosθ，sinθ），则d11，d21，则2d1+d2＝2+（cosθ﹣sinθ）+1（cosθ+sinθ）＝33sin（θ）≥3；即2d1+d2的最小值为3；故答案为：3．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，注意建立坐标系，表示2d1+d2,属于中等题.二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设函数，“该函数的图像过点”是“该函数为幂函数”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】若函数f（x）为幂函数，利用性质可得该函数的图象过点（1，1）．反之不成立．即可判断出关系．【详解】若函数f（x）为幂函数，则该函数的图象过点（1，1）．反之如y=lnx+1过（1，1），但不是幂函数，所以不成立．∴“该函数的图象过点（1，1）”是“该函数为幂函数”的必要非充分条件．故选：B．【点睛】本题考查了幂函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.下列关于函数与的命题中正确的是（）．A.它们互为反函数B.都是增函数C.都是周期函数D.都是奇函数【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数y＝sinx的性质可得A，B不正确，反正弦函数不是周期函数得C不正确．【详解】y＝sinx在R内不存在反函数，且不具有单调性，故A，B不正确；y＝arcsinx不是周期函数，故C不正确；故选：D．【点睛】本题考查了反函数及函数的性质，属于基础题．15.如图，在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A1B成60°角的异面直线一一列出，即得答案．【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条．故选：B．【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题．16.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可.【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A选项等价于或，表示折线的全部和双曲线，故错误；B选项，等价于或，又表示折线的全部，故错误；C选项，等价于或，∴表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分，表示双曲线-，符合题中的图象，故C正确.D选项，等价于或，表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分，和表示双曲线在x轴下方的部分，故错误.故选C.【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时同时需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．17.如图，一个圆锥形量杯的高为厘米，其母线与轴的夹角为．（1）求该量杯的侧面积；（2）若要在该圆锥形量杯的一条母线上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少．当液体体积是立方厘米时，刻度的位置与顶点之间的距离是多少厘米(精确到厘米)？【答案】（1）平方厘米．（2）当时，刻度的位置与顶点之间的距离约为厘米．【解析】【分析】(1)先求得圆锥底面半径及母线，再利用侧面积公式计算即可．(2)设，用x表示平行于底面的截面半径及顶点到截面的距离，利用体积解得即可.【详解】(1)由题设，圆锥底面半径，母线．．因此，该量杯的侧面积为平方厘米．(2)设，可得过点平行于底面的截面半径为，顶点到该截面的距离为．于是．当时，可解得．因此，刻度的位置与顶点之间的距离约为厘米．【点睛】本题考查了圆锥侧面积及体积的求法，考查了运算能力，属于基础题.18.已知函数，．（1）求函数的单调递减区间；（2）在△中，若，且，，求△外接圆半径的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式降幂，再化为，由复合函数的单调性求函数y＝f（x）的单调递减区间；（2）由f（A）＝f（B），且A≠B，求得A+B，得C，结合c＝AB，再由正弦定理求得△ABC外接圆半径的长．【详解】(1)函数．由，得．由正弦函数的单调性可知，当，即时，函数递减．所以，函数，的单调递减区间是．(2)函数．在△中，因为，，所以，．由，及，得，解得，于是．设三角形的外接圆半径长为，因为，所以．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用及单调性，考查了考查三角形的解法，是中档题．19.已知函数，其中、．（1）当，时，求满足的的值；（2）若为奇函数且非偶函数，求与的关系式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，当a＝6，b＝0时，f（x），若f（|x|）＝2x，则2x，解可得x的值，即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝0，即（b）+（b）＝0，变形分析可得a、b的关系，即可得答案．【详解】(1)由题设，，．当时，，解得；当时，，方程无解．因此，满足的的值为．(2)当时，为偶函数，不合题意；当时，的定义域为．由题设，对定义域中的任意，恒成立，由，整理可得．因此，（）．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．20.已知椭圆：．（1）若抛物线的焦点与的焦点重合，求的标准方程；（2）若的上顶点、右焦点及轴上一点构成直角三角形，求点的坐标；（3）若为的中心，为上一点(非的顶点)，过的左顶点，作，交轴于点，交于点，求证：．【答案】（1）抛物线的标准方程为和．（2）或．（3）见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程和抛物线的性质即可求出；（2）按哪个角为直角进行分类，结合数量积为0，计算得到M的坐标.（3）由B（﹣3，0），BQ∥OP，设直线BQ的方程为x＝my﹣3，直线OP的方程为x＝my，分别于椭圆的方程联立，求出点Q，N，P的坐标，再根据向量的运算即可证明.【详解】(1)椭圆的焦点坐标为和，抛物线的标准方程为和．(2)设点的坐标为，的上顶点的坐标为，右焦点的坐标为．当为直角顶点时，点的坐标为；当为直角顶点时，，，由，解得，点的坐标为．因此，点的坐标为或．(3)设直线的方程为()，直线的方程为．于是点，的坐标，为方程组的实数解，解得点的坐标为．点，的坐标，为方程组的实数解，解得点的坐标为．又点的坐标为．于是，，，，，即，得证．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，