四川省泸州市2019届高三数学第二次教学质量诊断性考试题 理

四川省泸州市2019届高三数学第二次教学质量诊断性考试题文一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A＝{﹣3，1}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{1}B．（﹣3，1）C．{﹣3，1}D．（﹣3，3）2．22)1ii（－＝（）A．﹣3﹣iB．3﹣iC．3+iD．﹣3+i3．已知tanα＝12，则tan2α＝（）A．－43B．43C．－34D．344．x＞3是lnx＞1成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）6．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A．110B．15C．310D．257．在△ABC中|+|＝|﹣|，AB＝3，AC＝4，则在方向上的投影是（）A．4B．－4C．3D．－38．设a＝2018log2019，b＝2019log2018，c＝120182019，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a9．若函数f（x）＝asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝6对称，则函数g（x）＝sinx+acosx的图象（）A．关于直线x＝－3对称B．关于直线x＝6对称C．关于点（3，0）对称D．关于点（56，0）对称10．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．18πB．212C．21πD．42π11．双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与圆x2+y2＝a2相切，与C的左、右两支分别交于点A、B，若|AB|＝|BF2|，则C的离心率为（）A．523B．5＋23C．3D．512．已知函数f（x）＝（ex﹣a）（x+a2）（a∈R），则满足f（x）≥0恒成立的a的取值个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上．13．821()xx的展开式中x2的系数为（用数字作答）．14．已知实数x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为．15．抛物线y2＝4x上的点到（0，2）的距离与到其准线距离之和的最小值是16．已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝4，则△ABC的面积的取值范围为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足2an＝2+Sn．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设bn＝log2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：购买意愿市民年龄不愿意购买该款电冰箱愿意购买该款电冰箱总计40岁以上60080040岁以下400总计800（Ⅰ）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（Ⅱ）完善表中数据，并据此判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（Ⅲ）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为x，求x的期望．附：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA，（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若AB＝AC，BD＝62AB，求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：22221(0)xyabab，点P1（1，1），P2（0，3），P3（－2，－2），P4（2，2）中恰有三点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设R（x0，y0）是椭圆C上的动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ex+a．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴正半轴有公共点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：a＞1﹣时，f（x）＜﹣e﹣1．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ＝8sinθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|＝409时，求sinα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意满足m+n＝1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得成立，求实数a的取值范围．