新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件622向量的减法运算

6.2.2向量的减法运算新课程标准素养风向标借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及理解其几何意义.1.借助向量的加法类比推理出向量的减法.(逻辑推理)2.能熟练地进行向量的加、减运算解决向量的实际问题.(数学建模)基础预习初探1.a的相反向量是什么?-a的相反向量是什么?零向量的相反向量是什么?提示:与向量a长度相等且方向相反的向量称作向量a的相反向量,记作-a,并且有a+(-a)=0.-a的相反向量是a,即-(-a)=a,规定:零向量的相反向量仍是零向量.2.我们知道,在数的运算中,减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?提示:向量的减法也有类似法则,定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.【概念生成】1.相反向量定义如果两个向量长度_____,而方向_____,那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有:a+(-a)=__②若a,b互为相反向量,则a=___,a+b=__③零向量的相反向量仍是零向量相等相反0-b02.向量的减法定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_________作法在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=.如图所示几何意义如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的_____指向向量a的_____的向量OAOBBA相反向量终点终点核心互动探究探究点一向量的减法运算【典例1】化简下列各式:(1);(2).【思维导引】(1)通过相反向量,把减法变为加法.(2)有相同起点的向量的减法用三角形法则.【解析】(1)原式==.(2)原式=.(ABMB)(OBMO)＋＋ABADDCABMBBOOM＋＋＋(ABBO)(OMMB)AOOBAB＋＋＋DBDCCB【类题通法】向量减法运算的常用方法【知识延拓】非零向量的差的三角不等式(1)当a,b不共线时,根据三角形边长的不等关系知||a|-|b|||a-b||a|+|b|.(2)当a,b共线且同向时,若|a||b|,则a-b与a,b同向,且|a-b|=|a|-|b|;若|a||b|,则a-b与a,b反向,且|a-b|=|b|-|a|.(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|a-b|=|a|+|b|.综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.【定向训练】化简:.【解析】.ABDABDBCCA＋＋－－ABDABDBCCAABDABDCBAC(ABBD)(ACCB)DA＋＋－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝ADABDAADDAAB0ABAB＋＋＝＋＋＝＋＝【补偿训练】下列式子不能化简为的是()【解析】选D.对于A,有;对于B,有;对于C,有;只有D无法化简为.A.(ABCD)BC＋＋ADB.(ADMB)(BCCM)＋＋＋C.OCOACD＋D.MBADBM＋ABBCCDAD＋＋＝AD(MBBC)CM＋＋＋AD(MCCM)AD＋＋＝(OCOA)CDACCDAD＋＝＋＝AD探究点二利用已知向量表示其他向量【典例2】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量.【思维导引】解答本题要注意,及向量加法减法几何意义的应用.ABCD,BC,BDCDAEACAE【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,所以c,b-a,故b-a+c.CDAEBDBCCDBCACAB－【类题通法】1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键:一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意:①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.2.用已知向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置.(2)寻找相应的平行四边形或三角形.(3)运用法则找关系,化简得结果.【定向训练】在平行四边形ABCD中,=a,=b,=c,试用a,b,c=________.OAOBOCODOD表示，则【解析】因为=a，=b,=c,所以=c-b,所以=a+c-b.答案:a+c-bOABCOCOBODOAADOBOCADBC又，探究点三向量减法几何意义的应用【典例3】若,则的取值范围是什么?【思维导引】利用向量减法几何意义求解.【解析】由及三角不等式,得,又因为BCBCBAAC＝＋BAAC|BAAC|BAAC－＋＋AB8AC5＝，＝BAAB8＝＝，3BC|BAAC|13BC3,13所以＝＋，即［］.【类题通法】向量a+b,a-b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.基本思路是:先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,利用图形的几何性质求解.【定向训练】已知O为四边形ABCD所在平面外的一点,且向量满足,则四边形ABCD的形状为______________.【解析】因为,所以.所以,所以四边形ABCD是平行四边形.答案:平行四边形OAOBOCOD，，，OAOC＋＝OBOD＋OAOCOBOD＋＝＋OAODOBOCDACB－＝－，所以＝DACBDACB＝，且【补偿训练】已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.【解析】如图,作=a,=b,再以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则有a+b,a-b,即|a+b|与|a-b|是平行四边形的两条对角线的长度,又因为|a+b|=|a-b|,所以该四边形为矩形,从而|a-b|.OAOC226810＝＝OBBA【课堂小结】课堂素养达标1.在△ABC中,a,b,则=()A.a-bB.b-aC.a+bD.-a-b【解析】选D.-a-b.2.如图所示,已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中a,b,c,则等于()A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c【解析】选D.如题干图b-c.BC＝ABABCBCABCCA＝－＝－－＝OAOBOC＝＝＝EFCBOBOC＝＝－EFCA＝3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是()【解析】选C.因为A正确;因为B正确;因为,C错误;因为D正确.A.ABDC0B.ADBAAC－＝－＝C.ABADBDD.ADCB0－＝＋＝ABDCABDC0＝，所以－＝，ADBAADABAC－＝＋＝，ABADABDADB－＝＋＝，ADBCADCBADCB0＝，所以＝－，所以＋＝，4.已知a,b,且∠AOB=90°,则|a-b|=________.【解析】∠AOB=90°,.a,b,a-b所以|a-b|.答案:13OAOBOA12OB5＝＝若＝，＝，OA12OB5因为＝，＝，222OAOBABAB13所以＋＝，所以＝OAOBOAOBBA因为＝＝所以＝－＝，BA13＝＝5.化简:.【解析】方法一:.方法二:.(ABCD)(ACBD)－－－(ABCD)(ACBD)－－－ABCDACBDABDCCABD＝－－＋＝＋＋＋(ABBD)(DCCA)ADDA0＝＋＋＋＝＋＝(ABCD)(ACBD)－－－ABCDACBD(ABAC)(DCDB)＝－－＋＝－＋－CBBC0＝＋＝