新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业624向量的数量积Word版含解析

第六章6.26.2.4A组·素养自测一、选择题1．已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，若a·b0，则△ABC是(A)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形[解析]由a·b0易知〈a，b〉为钝角.2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(B)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[解析]A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(C)A．2B．4C．6D．12[解析]∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72．∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72．∴|a|2－2|a|－24＝0．又∵|a|≥0，∴|a|＝6．4．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(C)A．π3B．π2C．2π3D．5π6[解析]由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以a，b＝a·b|a|·|b|＝－2a24a2＝－12，所以a，b＝2π3，故选C．5．P是△ABC所在平面上一点，若PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则P是△ABC的(D)A．外心B．内心C．重心D．垂心[解析]由PA→·PB→＝PB→·PC→得PB→·(PA→－PC→)＝0，即PB→·CA→＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心.二、填空题6．已知e1、e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为__54__.[解析]由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos2π3＝0，解得k＝54.7．(2020·全国Ⅰ卷理)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝__3__.[解析]因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝2＋2a·b＝1，解得2a·b＝－1，所以|a－b|＝a－b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝3.8．已知向量a，b，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|2a－b|＝__2__.[解析]设向量b和a的夹角是α，因为|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝2－22cosα＝0，所以cosα＝22，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8＋4－4×2×2×22＝4，故|2a－b|＝2．三、解答题9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)(3a)·15b；(3)(3b－2a)·(4a＋b).[解析](1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60．(2)(3a)·15b＝35(a·b)＝35×(－60)＝－36．(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968．10．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，m＝3a－2b，n＝2a＋kb.若m⊥n，求实数k的值.[解析]因为向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×－12＝－3．又m⊥n且m＝3a－2b，n＝2a＋kb，所以m·n＝(3a－2b)(2a＋kb)＝6a2＋(3k－4)a·b－2kb2＝0所以6×22＋(3k－4)·(－3)－2k×32＝0，所以k＝43.B组·素养提升一、选择题1．(多选)下列命题中正确的是(ACD)A．对于任意向量a、b，有|a＋b|≤|a|＋|b|B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0C．对于任意向量a·b，有|a·b|≤|a||b|D．若a、b共线，则a·b＝±|a||b|[解析]当a⊥b时，a·b＝0也成立，故B错误，A、C、D均正确.2．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(B)A．－8B．8C．－8或8D．6[解析]由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－35，sinθ＝45，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×45＝8．3．(2020·全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是(A)A．(－2,6)B．(－6,2)C．(－2,4)D．(－4,6)[解析]如图，AB→的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP→在AB→方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义式，可知AP→·AB→等于AB→的模与AP→在AB→方向上的投影的乘积，所以AP→·AB→的取值范围是(－2,6)，故选A．4．已知△ABC中，若AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是(C)A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析]解法1：由AB→2－AB→·AC→＝BA→·BC→＋CA→·CB→，得AB→·(AB→－AC→)＝BC→·(BA→－CA→)，即AB→·CB→＝BC→·BC→，∴AB→·BC→＋BC→·BC→＝0，∴BC→·(AB→＋BC→)＝0，则BC→·AC→＝0，即BC→⊥AC→，所以△ABC是直角三角形，故选C．解法2：由条件得AB→2＝AB→·(AC→＋CB→)＋CA→·CB→＝AB→2＋CA→·CB→，∴CA→·CB→＝0，∴CA→⊥CB→.二、填空题5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__－13__.[解析]∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，∴a·b＝－|b|2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|·|b|＝－13.6．如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则OA→·AB→＋OB→·BC→＋OC→·CA→＝__－1492__.[解析]OA→·AB→＝|OA→||AB→|cos(180°－∠BAO)，∵|OA→|cos(180°－∠BAO)＝－|OA→|cos∠BAO＝－12|AB→|，∴OA→·AB→＝－12|AB→|2，同理，OB→·BC→＝－12|BC→|2，OC→·CA→＝－12|CA→|2，∴OA→·AB→＋OB→·BC→＋OC→·CA→＝－12×(62＋72＋82)＝－1492.三、解答题7．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的长度.[解析](1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×－6＝13.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b上的投影向量的长度为a·a＋b|a＋b|＝1013＝101313.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，BP→·CQ→有最大值.[解析]∵BP→＝AP→－AB→，CQ→＝CA→－QA→＝－AC→－AP→，∴BP→·CQ→＝(AP→－AB→)·(－AC→－AP→)＝(－AP→·AC→)＋AB→·AC→－AP→2＋AB→·AP→＝AB→·AC→－r2＋AP→(AB→－AC→)＝AB→·AC→－r2＋AP→·CB→＝|AB→||AC→|cos∠BAC－r2＋AP→·CB→＝bccos∠BAC－r2＋AP→·CB→.当AP→与CB→同向时，AP→·CB→的最大值为|AP→||CB→|＝ra，即当QP→与CB→共线且同向时，BP→·CQ→有最大值bccos∠BAC＋ar－r2．