专题19全等三角线中的辅助线做法及常见题型之60度90度旋转备战2021中考数学解题方法系统训练

专题019：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之特殊角度旋转一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（）A．34B．41C．43D．592．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（）个．①△BED是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．A．1B．2C．3D．43．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO633；⑤S△AOC+S△AOB=9364．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是△ABC内一点．若PA＝1，PC＝2，∠APC＝135°，则PB的长为______．6．如图，RtABC中，90ACB，4AC，将斜边AB绕点A逆时针旋转90至AB，连接BC，则ABC的面积为_______．7．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是边AD、CD上的点，若4AEcm，3CFcm，且OEOF，则EF的长为__________cm．8．如图，边长为5的正方形ABCD与直角三角板如图放置，延长CB与三角板的直角边相交于点E，则四边形AECF的面积为_____．9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，3,BDCE4，则ABC的面积为__________.三、解答题10．如图①，P为正三角形内一点，且3PC，4PB，5PA，求BPC的度数.解题思路：将ABP绕点B按顺时针方向旋转60得1CBP，它的位置如图②.易得1BPP为等边三角形，1CPP为直角三角形，所以6090150BPC.根据以上的解题思路解决下列问题：如图③，在等腰直角ABC中，90MC，P是ABC内一点，1PA，3PB，7PC，求CPA的度数.11．在△ABC中90AOB，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D(1)当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；(2)当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；(3)当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．12．综合与实践如图1，在等边三角形ABC中，点P在ABC内部，且150,APB猜想,,PAPBPC三条线段之间有何数量关系，并说明理由．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：（1）想法一：在图1中，将APB△绕点A按逆时针方向旋转60,得到',APCV连接',PP寻找,,PAPBPC三条线段之间的数量关系；（2）想法二：在图2中，将APC△绕点A按顺时针方向旋转90,得到'APBV，连接',PP寻找,,PAPBPC三条线段之间的数量关系．13．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．14．如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′，若反比例函数kyx的图像恰好经过A′B的中点D，求这个反比例函数的解析式．15．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B+∠D=180°，重复①的操作，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．（2）如图3，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，求DE的长．参考答案1．D【解析】【分析】【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，BACABADCADADAD，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=2252ADAD，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=22235059DCDD，故选D．2．D【解析】【分析】根据旋转的性质得BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，于是可判断△BDE为等边三角形，则有DE=BD，所以△AED的周长=BD+AC，且∠C=∠BAE=∠ABC=60°得①②③正确；根据三角形内角和定理得∠ADE=∠ABE，结合∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°，可得④正确.【详解】∵在等边△ABC中，△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60，∠C=∠BAE=60°∴△BDE为等边三角形，∠ABC=∠BAE=60°∴DE=BD，AE∥BC；∴△AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC=BD+BC故①②③正确∵△ABC，△BDE为等边三角形，∴∠BED=∠BAC=60°又∵对顶角相等∴∠ADE=∠ABE∵∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°∴∠ADE＝∠DBC．故④正确故选：D【点睛】题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．3．A【解析】【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO=S△AOO+S△OBO，可得结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO+S△AOO，计算可得结论⑤正确．【详解】由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=21334464324，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=213933436244，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选A．4．C【解析】【分析】将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，有△ABC与△ADE全等，证明C、D、E三点共线，再根据△ACE为等边三角形即可求解；【详解】解：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，则有△ABC与△ADE全等．∴AC=AE，∠ABC=∠ADE．∵∠BAD=60°，∠BCD=120°．∴∠ADC+∠ADE=∠ADC+∠ABC=180°．∴C、D、E三点共线．∴BC+CD=DE+DC=CE．又∵∠CAE等于旋转角，即∠CAE=60°，∴△ACE为等边三角形．∴△ACE的面积为22332344AC．由旋转可知四边形ABCD的面积等于△ACE的面积故选：C【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，关键是将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE．5．6【解析】【分析】把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，根据旋转的性质可得△PCD是等腰直角三角形，BD=AP，∠APC=∠BDC，根据等腰直角三角形的性质求出PD，∠PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PBD是直角三角形，∠PDB=90°，再求出∠BDC即可得解．【详解】解：如图，把△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ADP，由旋转的性质得，△ADP是等腰直角三角形，AD=AP=1，BD=PC=2，∠ADB=∠APC=135，所以22PDAP，45ADP1354590PDBADBADP22222(2)26PBPDBD，6PB故答案为：6．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键．6．8【解析】【分析】过点B'作B'E⊥AC于点E，由题意可证△ABC≌△B'AE，可得AC=B'E=4，即可求△AB'C的面积．【详解】解：如图：过点B'作B'E⊥AC于点E∵旋转∴AB=AB'，∠BAB'=90°∴∠BAC+∠B'AC=90°，且∠B'AC+∠AB'E=90°∴∠BAC=∠AB'E，且∠AEB'=∠ACB=90°，AB=AB'∴△ABC≌△B'AE（AAS）∴AC=B'E=4∴S△AB'C='11448.22ACBE故答案为：8．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质解决问题是本题的关键．7．5【解析】【分析】连接EF，根据条件可以证明△OED≌△OFC，则OE=OF，CF=DE=3Ccm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF=222234CECF=5cm．【详解】解：连接EF，∵OD=OC，∵OE⊥OF∴∠EOD+∠FOD=90°∵正方形ABCD∴∠COF+∠DOF=90°∴∠EOD=∠FOC而∠ODE=∠OCF=45°∴△OFC≌△OED，∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF=222234CECF=5cm．故答案为：5．【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解题关键．8．25【解析】【分析】由题意可证△ADF≌△ABE，即可得S△ABE=S△ADF，即S四边形AECF=S正方形ABCD=AB2=25．【详解】解：∵正方形ABCD与直角三角板放置如图，∴∠BAD＝∠EAF＝90°，即∠EAB+∠BAF＝∠DAF+∠BAF，∴∠EAB＝∠FAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABE＝90°，AD＝AB，在△ABE和△ADF中，EABFADABADABED，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积＝52＝25．故答案为：25．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判