2019-2020学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第5课时 直角三角形的射影定理课

第5课时直角三角形的射影定理素质训练1．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，在图中的六条线段中，只要知道____条线段的长，就可以求其他线段的长()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由直角三角形的射影定理和勾股定理知，只要知道六条线段中的两条，便可求得其他线段．故选B．2．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若ACAB＝34，则BDCD＝()A．34B．43C．169D．916【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴由直角三角形的射影定理，可得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC．又ACAB＝34，∴BDCD＝BD·BCCD·BC＝AB2AC2＝432＝169.故选C．3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝2BD，CD＝8，则BC＝()A．2B．10C．46D．42【答案】C【解析】由射影定理，得CD2＝AD·BD⇒64＝2BD2⇒BD＝42.所以在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC＝CD2＋BD2＝82422＝46.故选C．4．在一直角三角形中，斜边上的高为6cm且把斜边分成3∶2两段，则斜边上中线的长是________cm.【答案】526【解析】设斜边上的高把斜边分成的两段长分别为3kcm，2kcm，由射影定理得62＝3k·2k，解得k＝6，则斜边长为3k＋2k＝56，所以斜边上中线的长为斜边的一半526cm.5．(2015年周口月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BD＝________.【答案】6.4【解析】在Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理得AC2＝AD·AB，则AB＝AC2AD＝623.6＝10，所以BD＝AB－AD＝10－3.6＝6.4.6．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD＝________.【答案】12【解析】因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，所以由射影定理，得CD2＝AD·BD．又因为BD∶AD＝1∶4，设BD＝x，则AD＝4x(x0)，所以CD2＝AD·BD＝4x2⇒CD＝2x.在Rt△CDB中，tan∠BCD＝BDCD＝x2x＝12.7．(2016年长沙联考)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥BC于点F，求证：EF∶DF＝BC∶AC．【证明】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴由射影定理，得AC2＝CD·BC，即ACCD＝BCAC.∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝AE.∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴AEDF＝ACCD.∴EFDF＝ACCD，从而有EFDF＝BCAC，即EF∶DF＝BC∶AC．8．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，BD＝8，求CD和BC的长．【解析】因为∠ACB是半圆上的圆周角，所以∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形．由射影定理可得CD2＝AD·BD＝2×8＝16，解得CD＝4；BC2＝BD·AB＝8×10＝80，解得BC＝45.能力提升9．如图所示，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G，H，交CE于点F，∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.【证明】∵∠H＝∠BCE，∠HBG＝∠CBE，∴△BCE∽△BHG.∴∠BEC＝∠BGH＝90°，即HG⊥BC．又BD⊥AC，∴在Rt△BCD中，由射影定理得GD2＝BG·CG.①∵∠H＝∠BCF，∠FGC＝∠BGH＝90°，∴△FCG∽△BHG.∴FGBG＝CGGH.∴BG·CG＝GF·GH.②由①②，得GD2＝GF·GH.