2019-2020学年高中数学 3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时作业（含解

课时作业24几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式知识点一求导公式的直接运用1.已知f(x)＝12，则f′(x)等于()A.12B.1C.0D.122答案C解析因常数的导数等于0，故选C.2．下列四组函数中导数相等的是()A.f(x)＝1与f(x)＝xB．f(x)＝sinx与f(x)＝－cosxC.f(x)＝1－cosx与f(x)＝－sinxD．f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3答案D解析由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等．故选D.知识点二某一点处的导数3.已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A.2B.－2C.3D.－3答案A解析若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．若f(x)＝cosx，则f′－3π2＝()A.0B.1C.－1D.32答案C解析∵f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx.故f′－3π2＝－sin－3π2＝－1.知识点三函数的切线问题5.已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点M12，14，与PQ平行的切线方程为：y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.易错点利用导数求倾斜角问题6.设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.0，π4∪3π4，πB.[0，π)C.π4，3π4D.0，π4∪π2，3π4易错分析根据斜率的范围求解倾斜角范围时一定要结合正切函数的图象，切勿直接根据函数值确定范围，例如本题中易将C选项误认为正确答案．答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∴直线l的斜率k＝cosx∈[－1,1]，设直线l的倾斜角为α，即可得到tanα∈[－1,1]，∴α∈0，π4∪3π4，π.一、选择题1．下列结论正确的个数为()①y＝ln2，则y′＝12；②y＝1x2，则y′|x＝3＝－227；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝1xln2.A.0B.1C.2D.3答案D解析①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．2．直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b的值为()A.2B.ln2＋1C.ln2－1D.ln2答案C解析∵y＝lnx的导数y′＝1x，∴令1x＝12，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝12x＋b，得b＝ln2－1.3．过曲线y＝1x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为()A.12，2B.12，2或－12，－2C.－12，－2D.12，－2答案B解析设点P的坐标为(x0，y0)，∵y′＝－1x2，∴－1x20＝－4，∴x20＝14，∴x0＝±12.∴点P的坐标为12，2或－12，－2.4．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A.f(x)＝x3B.f(x)＝x4－2C.f(x)＝x3＋1D.f(x)＝x4－1答案B解析由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．二、填空题5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.答案10ln10解析∵(10x)′＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.6．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．答案4解析∵y′＝12x，∴切线方程为y－a＝12a(x－a)，令x＝0，得y＝a2，令y＝0，得x＝－a，由题意知12·a2·a＝2，∴a＝4.7．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为__________．答案－2解析在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)·(x－1)，令y＝0，得xn＝nn＋1.∴an＝lgnn＋1.∴a1＋a2＋…＋a99＝lg12＋lg23＋…＋lg99100＝lg12×23×…×99100＝lg1100＝－2.三、解答题8．求抛物线y＝x2过点52，6的切线方程．解设此切线过抛物线上的点(x0，x20)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0.又∵此切线过点52，6和点(x0，x20)，∴x20－6x0－52＝2x0.由此x0应满足x20－5x0＋6＝0.解得x0＝2或x0＝3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)和(3,9)．∴所求切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．化简得y＝4x－4，y＝6x－9.9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意，设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.