2019-2020学年高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质（2）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业13椭圆的简单几何性质(2)知识点一直线与椭圆的交点问题1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆x24＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交答案C解析把x＋y－3＝0代入x24＋y2＝1得x24＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－640，∴直线与椭圆相离．2．若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是()A.63B．－63C．±63D．±33答案C解析把y＝kx＋2代入x23＋y22＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±63.3．若直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A.－54，54B.54，－54C.－∞，－54∪54，＋∞D.－∞，－54∪－54，54答案C解析由y＝kx＋3，x216＋y24＝1，得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞54或k＜－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.知识点二中点弦问题4.已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．解解法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆的方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.∴x1＋x2＝8kk－4k2＋1＝8，∴k＝－12.∴直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.解法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x21＋4y21－36＝0，x22＋4y22－36＝0.两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴y1－y2x1－x2＝－12，即k＝－12.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.知识点三相交弦的弦长问题5.已知直线y＝x＋1与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B两点，求弦AB的长．解解法一：由y＝x＋1，x2＋4y2－4＝0，消去y得5x2＋8x＝0.解得x＝0或x＝－85，因此A－85，－35，B(0,1)，|AB|＝－852＋－35－12＝825.解法二：由y＝x＋1，x2＋4y2－4＝0，消去y得5x2＋8x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－85，x1x2＝0，即|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋x1＋1－x2－2＝2x1－x22＝2x1＋x22－4x1x2＝2－852＝825.一、选择题1．直线l：kx－y－k＝0与椭圆x24＋y22＝1的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．不确定答案A解析∵kx－y－k＝0，∴y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在x24＋y22＝1的内部，故l与椭圆x24＋y22＝1相交．2．过坐标原点，作斜率为2的直线，交椭圆x212＋y23＝1于A、B两点，则|AB|的长为()A．2B．4C.433D.233答案B解析由y＝2x，x2＋4y2＝12，得x2＝43，得x＝±233，∴|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝3×433＝4.3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．32B．26C．27D．42答案C解析根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋83b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2b2＋4＝27，故选C.4．经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OA→·OB→等于()A．－3B．－13C．－13或－3D．±13答案B解析不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1，由y＝x－1，x22＋y2＝1，消去y，得3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝43，x1x2＝0，∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－43＋1＝－13.5．已知椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y＝1相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若直线OM的斜率为2，则nm的值为()A.22B.12C.2D．2答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)，由题意可得y1＋y2x1＋x2＝y0x0＝2，y2－y1x2－x1＝－1，因为A，B在椭圆上，所以mx21＋ny21＝1，mx22＋ny22＝1，两式相减可得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0.所以y1－y2x1－x2＝－mx1＋x2ny1＋y2，即－1＝－mx1＋x2ny1＋y2，所以－1＝－mn·22，即nm＝22.二、填空题6．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________.答案72解析∵|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝b2a＝12，∴|PF2|＝4－12＝72.7．椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.8．已知点P是椭圆x2＋8y2＝8上一点，则点P到直线l：x－y＋4＝0的最短距离为________．答案22解析设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，联立方程x2＋8y2＝8，x－y＋a＝0，得9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，最小距离为d＝|4－3|2＝22.三、解答题9．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y＝3x－2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．解设椭圆的方程为x2b2＋y2a2＝1(ab0)，且a2－b2＝(52)2＝50.①由x2b2＋y2a2＝1，y＝3x－2，消去y得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.∵x1＋x22＝12，∴6b2a2＋9b2＝12，即a2＝3b2.②此时Δ0.由①②得a2＝75，b2＝25，∴椭圆的方程为x225＋y275＝1.10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．解(1)由4x2＋y2＝1，y＝x＋m，消去y得，5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－52≤m≤52.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝－25m，x1x2＝m2－15.所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋x1＋m－x2－m2＝x1－x22＝x1＋x22－4x1x2]＝24m225－45m2－＝2510－8m2.因为Δ＝4m2－20(m2－1)＞0，所以－52＜m＜52.所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.