2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（四）数系的扩充与复数的引入（含解析）北师大版选修1-2

1阶段质量检测（四）数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z＝2－i，则z·z的值为()A．5B.5C．3D.3解析：选A∵z＝2－i，∴z·z＝|z|2＝22＋12＝5.2.复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Cz＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．3．i为虚数单位，1i＋1i3＋1i5＋1i7＝()A．0B．2iC．－2iD．4i解析：选A∵i2＝－1，∴1i＋1i3＋1i5＋1i7＝1i－1i＋1i－1i＝0.4．复数z满足iz＝3－4i，则|z|的值为()A．1B．2C.5D．5解析：选D由iz＝3－4i，得i2z＝3i＋4，则z＝－4－3i.所以，|z|＝－32＋－42＝5.5．复数1－i22＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为()A．0B．1C．2D．－1解析：选D1－i22＝1－2i＋i22＝－i＝a＋bi.所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.6．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z＝()2A．2iB．iC．－iD．－2i解析：选D设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)，代入z＋21－i＝bi＋21－i＝bi＋＋－＋＝－b＋b＋2，由于其为实数，∴b＝－2，∴z＝－2i.7．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz的值为()A．2－iB．2＋iC．－2－iD．－2＋i解析：选A由条件知z＝－1＋2i，则5iz＝－1－－1＋－1－＝－5i＋105＝2－i.8．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|等于()A.12B.22C.2D．2解析：选C因为z＝2i1＋i＝－＋－＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝2.9．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，复数a＋bi的值为()A．1＋2iB．－1＋2iC．－1－2iD．1－2i解析：选B由(a－2i)i＝b－i，可得2＋ai＝b－i，所以a＝－1，b＝2，所以a＋bi＝－1＋2i.10．已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于()A．－1B．1C．2D．3解析：选B由a＋2ii＝b＋i得a＋2i＝bi－1，所以由复数相等的意义知：a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1.11．已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A．(1,5)B．(1,3)C．(1，5)D．(1，3)解析：选Cz＝a＋i，∴|z|＝a2＋1.又∵0a2，∴1a2＋15，∴1|z|5.312．在复平面上，设点A，B，C对应的复数分别为i,1，4＋2i，过A，B，C作平行四边形ABCD，则此平行四边形的对角线BD的长为()A.13B．2C．3D.3解析：选A由题知平行四边形三顶点坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，设D点的坐标为(x，y)．因为BA―→＝CD―→，得(－1,1)＝(x－4，y－2)，得x－4＝－1，y－2＝1，解得x＝3，y＝3，即D(3,3)，所以BD―→＝(2,3)，则|BD|＝13.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.答案：2114．复数2－2i1＋i＝________.解析：2－2i1＋i＝－21＋－＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i15．若实数m满足等式|log3m＋4i|＝5，则m＝____________.解析：∵|log3m＋4i|＝3m2＋42＝5，∴(log3m)2＝9，∴log3m＝±3.∴m＝27或m＝127.答案：27或12716．若z1＝2－i，z2＝－12＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点为Z1，Z2，则这两点之间的距离为________．解析：向量Z1Z2―→对应的复数是z2－z1＝－12＋2i－(2－i)＝－52＋3i，∴|Z1Z2―→|＝－522＋32＝612.4答案：612三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)＋－21－2i；(2)4＋5i－－.解：(1)＋－21－2i＝＋－1－2i＝－1－2i＝2.(2)4＋5i－－＝－－－＝i1－i＝＋－＋＝i－12＝－12＋12i.18．(本小题满分12分)计算：已知z1＝2＋i且z2＝z1＋i＋－z1，求z2·z1.解：∵z2＝z1＋i＋－z1＝2＋i＋i2i＋1－2－i＝2＋2i－1＋i＝＋－1－－1＋－1－＝－＋22＝－2i，∴z1·z2＝(2＋i)·(－2i)＝－4i＋2＝2－4i.19．(本小题满分12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.(1)若x∈R，求x的值；(2)若x∈C，求x的值．解：(1)x∈R时，由方程得(x2－3x)＋(2x－6)i＝0；则x2－3x＝0，2x－6＝0，得x＝3.(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a，b∈R)代入方程整理得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.5则a2－b2－3a－2b＝0，2ab－3b＋2a－6＝0，得a＝0，b＝－2，或a＝3，b＝0.故x＝3或x＝－2i.20．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－z2||z1|，求实数a的取值范围．解：由题意，得z1＝－1＋5i1＋i＝2＋3i，于是|z1－z2|＝|4－a＋2i|＝－a2＋4，|z1|＝13.因为|z1－z2||z1|，所以－a2＋413，即a2－8a＋70，解得1a7，∴a的取值范围为(1,7)．21．(本小题满分12分)已知z＝a－i1－i(a0)，且复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．解：ω＝z(z＋i)＝a－i1－ia－i1－i＋i＝a－i1－i·a＋11－i＝a－a＋－2i＝a＋ai＋2＝a＋12＋a2＋a2i.由a2＋a2－a＋12＝32，解得a＝2或a＝－2(舍去)，所以ω＝32＋3i.所以|ω|＝322＋32＝352.622．(本小题满分12分)已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，z2－i＝x＋yi2－i＝15(x＋yi)(2＋i)＝15(2x－y)＋15(2y＋x)i.由题意知y＋2＝0，15y＋x＝0，∴x＝4，y＝－2，∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，由已知得12＋4a－a20，a－，∴2a6，∴实数a的取值范围是(2,6)．7