2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练（十九）共面向量定理（含解析）苏教版选修2-1

1课时跟踪训练(十九)共面向量定理1．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x、y，使a＝xb＋yc.2．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP＝15OA＋23OB＋λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.3.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1，若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y＋z＝________.4．i，j，k是三个不共面的向量，AB＝i－2j＋2k，BC＝2i＋j－3k，CD＝λi＋3j－5k，且A、B、C、D四点共面，则λ的值为________．5．命题：若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，OM＝13OA＋13OB＋13OC，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部是________命题(填“真”或“假”)．6．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点O满足OM＝13OA＋13OB＋13OC.判断MA，MB，MC三个向量是否共面．7．若e1，e2，e3是三个不共面的向量，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面，并说明理由．28．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.答案1．解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b、c是不共线向量，否则即使三个向量a、b、c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．答案：②③2．解析：∵P与A，B，C共面，∴AP＝αAB＋βAC，∴AP＝α(OB－OA)＋β(OC－OA)，即OP＝OA＋αOB－αOA＋βOC－βOA＝(1－α－β)OA＋αOB＋βOC，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此15＋23＋λ＝1.解得λ＝215.答案：2153．解析：EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋231DD－AB－131BB＝AD－AB＋131AA∴x＝－1，y＝1，z＝13.∴x＋y＋z＝13.答案：134．解析：若A、B、C、D四点共面，则向量AB、BC、CD共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得aAB＋bBC＋cCD＝0.即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0.∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0.∵i，j，k不共面，3∴a＋2b＋λc＝0，－2a＋b＋3c＝0，2a－3b－5c＝0.∴a＝c，b＝－c，λ＝1.答案：15．解析：AM＝OM－OA＝－23OA＋13OB＋13OC＝13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝13(AB＋AC)．令BC中点为D，则AM＝23AD，∴点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，故命题为真命题．答案：真6．解：(1)由已知得OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，∴MA，MB，MC共面．7．解：法一：令x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0，亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0，因为e1，e2，e3是三个不共面的向量，所以3x－y＋2z＝0，2x＋y－z＝0，x＋3y－4z＝0，解得x＝－1，y＝7，z＝5，从而a＝7b＋5c，a，b，c三个向量共面．法二：令存在λ，μ，使a＝λb＋μc成立，即3e1＋2e2＋e3＝λ(－e1＋e2＋3e3)＋μ(2e1－e2－4e3)，因为e1，e2，e3是三个不共面向量，所以3＝－λ＋2μ，2＝λ－μ，1＝3λ－4μ.解这个方程组得λ＝7，μ＝5，从而a＝7b＋5c，即a，b，c三向量共面．8．证明：因为H为BC的中点，所以FH＝12(FB＋FC)＝12(FE＋EB＋FE＋ED4＋DC)＝12(2FE＋EB＋ED＋DC)．因为EF∥AB，CD綊AB，且AB＝2EF，所以2FE＋DC＝0，所以FH＝12(EB＋ED)＝12EB＋12ED.又EB与ED不共线，根据向量共面的充要条件可知FH，EB，ED共面．由于FH不在平面EDB内，所以FH∥平面EDB.