2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练（十七）曲线的交点（含解析）苏教版选修2-1

1课时跟踪训练(十七)曲线的交点1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．2．曲线x2＋y2＝4与曲线x2＋y29＝1的交点个数为________．3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．4．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的公共点，则实数m的范围是________．5．如果椭圆x236＋y29＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是________．6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为42，离心率为64.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与该椭圆交于M、N两点，MN的中点为A(2，－1)，求直线l的方程．7．已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3－242y－230－422(1)求C1，C2的标准方程；(2)请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N且满足OM⊥ON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．28．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．答案1．解析：当y＝0时，得x2－3x－4＝0，解得x1＝4或x2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)．答案：(4,0)，(－1,0)2．解析：由数形结合可知两曲线有4个交点．答案：43．解析：由y2＝8x，得准线方程为x＝－2.则Q点坐标为(－2,0)．设直线y＝k(x＋2)．由y＝kx＋，y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.若直线l与y2＝8x有公共点，则Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0.解得－1≤k≤1.答案：[－1,1]4．解析：由y＝x＋m，y＝x2－x＋2，消去y，得x2－2x＋2－m＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m)0，∴m1.答案：(1，＋∞)5．解析：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.又∵A，B在椭圆上，∴x21＋4y21＝36，x22＋4y22＝36.两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－12.即直线l的斜率为－12.∴所求直线方程为x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝036．解：(1)由题意2a＝42，∴a＝22，又e＝ca＝c22＝64，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为x28＋y25＝1.(2)∵点A在椭圆内部，∴过A点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y＋1＝k(x－2)，它与椭圆的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y＋1＝kx－，x28＋y25＝1.消去y得(8k2＋5)x2－16k(2k＋1)x＋8[(2k＋1)2－5]＝0，∴x1＋x2＝16kk＋8k2＋5，又∵A(2，－1)为弦MN的中点，∴x1＋x2＝4，即16kk＋8k2＋5＝4，∴k＝54，从而直线方程为5x－4y－14＝0.7．解：(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有y2x＝2p(x≠0)，据此验证4个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易求C2：y2＝4x.设C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，把点(－2,0)，2，22代入得4a2＝1，2a2＋12b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.∴C1的方程为x24＋y2＝1.(2)容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l的斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)．4由x24＋y2＝1，y＝kx－消去y得，(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，于是x1＋x2＝8k21＋4k2，x1x2＝k2－1＋4k2.①所以y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝k2k2－1＋4k2－8k21＋4k2＋1＝－3k21＋4k2.②由OM⊥ON，即OM·ON＝0，得x1x2＋y1y2＝0.③将①②代入③式得，k2－1＋4k2－3k21＋4k2＝k2－41＋4k2＝0，解得k＝±2.所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y＝2x－2或y＝－2x＋2.8．解：(1)由题意设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意得a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1，b2＝3.∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋m，x24＋y23＝1得，(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，∴Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)0，即3＋4k2－m20.∴x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝m2－3＋4k2.y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－4k23＋4k2.∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，kAD·kBD＝－1，∴y1x1－2·y2x2－2＝－1，化简得y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，5即m2－4k23＋4k2＋m2－3＋4k2＋16mk3＋4k2＋4＝0，化简得7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－2k7，且满足3＋4k2－m20.当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m＝－2k7时，l：y＝kx－27，直线过定点27，0.综上可知，直线l过定点，定点坐标为27，0.