2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十三）用数学归纳法证明不等式举例（含解析）新人教A版选

1课时跟踪检测（十三）用数学归纳法证明不等式举例1．下列四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时恒为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时恒为1＋kC．式子1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N＋)，当n＝1时恒为1＋12＋13D．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4解析：选C选项A中，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：选C令n0分别取2,3,4,5,6，依次验证即得．3．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立解析：选C如果n＝4时命题成立，那么由题设，n＝5时命题也成立．上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是如果n＝5时命题不成立，那么n＝4时命题也不成立．原命题成立，它的逆否命题一定成立．4．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞72，观察上述记录，可推测出一般结论()A．f(2n)＞2n＋12B．f(n2)≥n＋22C．f(2n)≥n＋22D．以上都不对2解析：选Cf(2)＝32，f(4)＝f(22)＞2＝42，f(8)＝f(23)＞52，f(16)＝f(24)＞62，f(32)＝f(25)＞72，所以f(2n)≥n＋22.5．证明n＋221＋12＋13＋…＋12nn＋1(n1)，当n＝2时，要证明的式子为________．解析：当n＝2时，要证明的式子为21＋12＋13＋143.答案：21＋12＋13＋1436．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n＋2＞12－1n＋2.假设n＝k时不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________．解析：假设n＝k时，不等式成立，即122＋132＋…＋1k＋2＞12－1k＋2，则当n＝k＋1时，左边＝122＋132＋…＋1k＋2＋1k＋2＞12－1k＋2＋1k＋2，下面只需证明12－1k＋2＋1k＋2＞12－1k＋3即可．答案：12－1k＋2＋1k＋2＞12－1k＋37．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝______________.解析：f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1，f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k，所以f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.答案：12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋18．用数学归纳法证明，对任意n∈N＋，有(1＋2＋…＋n)1＋12＋13＋…＋1n≥n2.证明：(1)当n＝1时，左边＝右边，不等式成立．当n＝2时，左边＝(1＋2)1＋12＝9222，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，3即(1＋2＋…＋k)1＋12＋…＋1k≥k2.则当n＝k＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]1＋12＋…＋1k＋1k＋1＝(1＋2＋…＋k)1＋12＋…＋1k＋(1＋2＋…＋k)·1k＋1＋(k＋1)×1＋12＋…＋1k＋1≥k2＋k2＋1＋(k＋1)1＋12＋…＋1k.∵当k≥2时，1＋12＋…＋1k≥1＋12＝32，(*)∴左边≥k2＋k2＋1＋(k＋1)×32＝k2＋2k＋1＋32≥(k＋1)2.这就是说当n＝k＋1时，不等成立．由(1)(2)可知当n≥1时，不等式成立．9．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝an2＋1an－1，且an＞0，n∈N＋.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．解：(1)当n＝1时，由已知得a1＝a12＋1a1－1，即a21＋2a1－2＝0.∴a1＝3－1(a1＞0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0.∴a2＝5－3(a2＞0)．同理可得a3＝7－5.猜想an＝2n＋1－2n－1(n∈N＋)．(2)证明：①由(1)知，当n＝1时，通项公式成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，将ak＝2k＋1－2k－1代入上式，整理得4a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝2k＋3－2k＋1，即n＝k＋1时通项公式成立．由①②可知对所有n∈N＋，an＝2n＋1－2n－1都成立．10．设数列{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n＝1,2,3….(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.解：(1)由a1＝2，得a2＝a21－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a23－3a3＋1＝5.由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明．①当n＝1，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋2，那么，当n＝k＋1时．ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋2.5