2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（八）反证法与放缩法（含解析）新人教A版选修4-5

1课时跟踪检测（八）反证法与放缩法1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数解析：选C假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．2．设x＞0，y＞0，M＝x＋y2＋x＋y，N＝x2＋x＋y2＋y，则M，N的大小关系为()A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不确定解析：选BN＝x2＋x＋y2＋y＞x2＋x＋y＋y2＋x＋y＝x＋y2＋x＋y＝M.3.否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．4．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2解析：选C假设都大于－2，则a＋1b＋b＋1c＋c＋1a－6，∵a，b，c均小于0，∴a＋1a≤－2，b＋1b≤－2，c＋1c≤－2，∴a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≤－6，这与假设矛盾，则选C.25．M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋10－1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，即M1.共210项答案：M16．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为____________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n＋1条”．答案：直径的数目至少为n＋1条7．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N＋)的大小关系是________．解析：A＝11＋12＋13＋…＋1n≥＝nn＝n.答案：A≥n8．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数．由a＋b＝c＋d＝1，知a，b，c，d∈[0,1]．从而ac≤ac≤a＋c2，bd≤bd≤b＋d2.∴ac＋bd≤a＋c＋b＋d2＝1.即ac＋bd≤1.与已知ac＋bd1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一个是负数．9．求证：112＋122＋132＋…＋1n22.证明：因为1n21nn－＝1n－1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n231＋11×2＋12×3＋…＋1n－n＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝2－1n2.10．已知α，β∈0，π2，且sin(α＋β)＝2sinα.求证αβ.证明：假设α≥β.①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sinα，得sin2α＝2sinα，从而cosα＝1，这与α∈0，π2矛盾，故α＝β不成立．②若αβ，则sinαcosβ＋cosαsinβ＝2sinα，所以cosαsinβ＝(2－cosβ)sinα，即cosα2－cosβ＝sinαsinβ.因为αβ，且α，β∈0，π2，所以sinαsinβ.从而cosα2－cosβ1，即cosα2－cosβ，即cosα＋cosβ2，这是不可能的，所以αβ不成立．由①②可知假设不成立，故原结论成立．4