2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法课件 新

-1-2.绝对值不等式的解法首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式以及|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.2.体会数形结合、分类讨论、函数与方程思想在解决问题中的应用.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.含有绝对值的不等式的解法(同解性)(1)|x|a⇔-a𝑥𝑎,a0,无解,a≤0.(2)|x|a⇔𝑥𝑎或𝑥-𝑎,a0,𝑥≠0,a=0,𝑥∈𝑅,a0.总结对于不等式|x|a(a0),由绝对值的几何定义知,它表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合.如图:JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.|ax+b|≤c(c0),|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法(1)|ax+b|≤c(c0)型不等式的解法是:先化为不等式组-c≤ax+b≤c,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.(2)|ax+b|≥c(c0)的解法是:先化为ax+b≥c或ax+b≤-c,再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集.3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法有三种不同的解法:解法一可以利用绝对值不等式的几何意义.解法二利用分类讨论的思想,以绝对值的“零点”为分界点,将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的符号,进而去掉绝对值符号.解法三可以通过构造函数,利用函数的图象,得到不等式的解集.名师点拨|x-a|+|x-b|≥c或|x-a|+|x-b|≤c型的不等式的三种解法可简述为:①几何意义;②根分区间法;③构造函数法.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考几个特殊的含绝对值的不等式的区别(1)|x-4|-|x-3|a有解,则a的取值范围是;(2)|x-4|-|x-3|a的解集为R,则a的取值范围是;(3)|x-4|+|x-3|a的解集为⌀,则a的取值范围是;(4)|x-4|+|x-3|a的解集为R,则a的取值范围是.提示:处理以上问题,我们可以与函数y=|x-4|-|x-3|,y=|x-4|+|x-3|的最值(值域)等联系起来,第一个函数的值域为[-1,1],而第二个函数的最小值为1,即|x-4|+|x-3|≥1,所以(1)|x-4|-|x-3|a有解,只需a1;|x-4|-|x-3|a的解集是R,则说明是恒成立问题,所以a[|x-4|-|x-3|]min=-1,即a-1;|x-4|+|x-3|a的解集为⌀,说明a≤[|x-4|+|x-3|]min=1,所以a≤1;|x-4|+|x-3|a的解集为R,说明a[|x-4|+|x-3|]min=1.以上这几种不等式问题,实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题,当然也可以借助函数的图象,用数形结合来解得a的范围.而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法形如|f(x)|a,|f(x)|a(a∈R)型不等式的简单解法:(1)当a0时,|f(x)|a⇒-af(x)a.|f(x)|a⇔f(x)a或f(x)-a.(2)当a=0时,|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔|f(x)|≠0.(3)当a0时,|f(x)|a无解.|f(x)|a⇔f(x)有意义.【例1】不等式|3x-2|4的解集是()A.{x|x2}B.xx-23C.xx-23或x2D.x-23𝑥2ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三答案:C解析:方法一:由|3x-2|4,得3x-2-4,或3x-24,即x-23,或x2.所以原不等式的解集为xx-23或x2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三方法二:(数形结合法)画出函数y=|3x-2|=3x-2,x≥23,2-3x,x23的图象,如图所示.由|3x-2|=4,解得x=2,或x=-23.在上述坐标系中画出直线y=4,与y=|3x-2|图象的交点坐标为(2,4)与-23,4.所以|3x-2|4时,x-23,或x2.故原不等式的解集为xx-23或x2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评本题题型已成为“公式”型的问题,即解不等式时,套用|ax+b|≥c型的转化方法,进而解之,而数形结合是从函数图象的角度解释不等式,从中可找到适合的x.本题是一道选择题,从解选择题的角度来看,本题还可以用排除法,即比较选项之间范围的差异,从中取值代入不等式验证,然后对选项进行筛选.比如A项与B项对比,取x=3代入不等式可知原不等式成立,因而排除B项.依此类推,可选出正确选项.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(1)分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即|x|=x(x≥0),-x(x0),也即x为非负数时,|x|为x;x为负数时,|x|为-x,即x的相反数.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设ab,于是f(x)=-2x+a+b-c(x≤a),b-a-c(a𝑥𝑏),2x-a-b-c(x≥b).这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.(3)几何解法的关键是理解绝对值的几何意义.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【例2】解不等式|x+1|+|x-1|≥3.思路分析:本题可以用分段讨论法或数形结合法求解,对于形如|x+a|+|x+b|的代数式,可以认为是分段函数.解法一:如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么点A,B之间的点到A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.由-1-x+1-x=3,得x=-32.同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3,B1对应数轴上的x,由x-1+x-(-1)=3,得x=32.从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.所以原不等式的解集是-∞,-32∪32,+∞.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解法二:当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得x≤-32.当-1x1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3,解得x≥32.综上所述,原不等式的解集为xx≤-32或x≥32.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解法三:将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即y=-2x-3,x≤-1,-1,-1𝑥1,2x-3,x≥1.作出函数的图象,如图.函数的零点是-32,32.从图象可知,当x≤-32,或x≥32时,y≥0,即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集为-∞,-32∪32,+∞.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评此题用了三种解法,其中第二种解法最为重要,值得注意的是分段讨论时要遵循分类讨论的原则,即“不重不漏”;第一种解法的关键是找到一些特殊的点;第三种解法,首先要准确画出函数的图象,其次函数的零点要找准,这些都是求解的关键.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点:忽略对参数的讨论【例3】解不等式|2x+3|a+1(a∈R).错解:∵|2x+3|a+1,∴-(a+1)2x+3a+1,∴-a+42xa-22,∴解集为-a+42,a-22.错因分析:忽略了对a+1的符号讨论,导致错误.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解:(1)当a+1≤0,即a≤-1时,原不等式无解,即不等式的解集为⌀.(2)当a+10,即a-1时,原不等式可变形为-a-12x+3a+1,∴-a+42xa-22.综上可知,当a-1时,原不等式的解集为-a+42,a-22;当a≤-1时,原不等式的解集为⌀.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.若集合M={x||x|≤2},N={x|x2-3x=0},则M∩N=()A.{3}B.{0}C.{0,2}D.{0,3}解析:∵M={x|-2≤x≤2},N={0,3},∴M∩N={0}.答案:B12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.不等式|x+3|-|x-3|3的解集是()A.xx32B.x32𝑥≤3C.{x|x≥3}D.{x|-3x≤0}解析:当x-3时,-(x+3)+(x-3)3,-63,无解.当-3≤x≤3时,x+3+x-33,x32,∴32x≤3.当x3时,x+3-(x-3)3,63,∴x3.综上所述,不等式的解集为xx32.答案:A12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.不等式4|3x-2|8的解集为.解析:本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组,分别求出其解集,然后取交集即可.方法一:由4|3x-2|8,得|3x-2|4,|3x-2|8⇒3x-2-4,或3x-24,-83𝑥-28⇒x-23,或x2,-2𝑥103.∴-2x-23,或2x103.∴原不等式的解集为x-2𝑥-23或2𝑥103.12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12345方法二:由4|3x-2|8,得43x-28,或-83x-2-4