2018-2019学年高中数学 测评综合（含解析）新人教A版选修4-5

-1-模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b∈R+,且a+b=1,则()2的最大值是()A.2B.C.6D.12解析:()2=(1×+1×)2≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2[4(a+b)+2]=2(4×1+2)=12.答案:D2.不等式|x+3|+|x-2|5的解集是()A.{x|-3≤x2}B.RC.⌀D.{x|x-3或x2}解析:令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.答案:C3.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选()-2-A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析:设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时取等号.答案:C4.若x,y,z是非负实数,且9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值为()A.9B.10C.14D.15解析:u2=(3x+6y+5z)2≤[(3x)2+(2y)2+(z)2]·[12+()2+()2]=9×9=81,当且仅当x=,y=,z=1时等号成立.故所求的最大值为9.答案:A5.若ab,则下列不等式中一定成立的是()A.B.1C.2a2bD.lg(a-b)0解析:∵y=2x是增函数,ab,∴2a2b.答案:C6.若a0,b0,则p=(a·b,q=ab·ba的大小关系是()A.p≥qB.p≤qC.pqD.pq解析:,若a≥b0,则≥1,≥0,∴≥1;若0a≤b,则≤1,≤0,∴≥1.-3-答案:A7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A.B.C.D.6解析:由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×≥(1×x+3×y+5×z)2×=62×.答案:C8.当0x时,函数f(x)=的最小值为()A.2B.2C.4D.4解析:f(x)==4tanx+,∵0x,∴tanx0,∴f(x)=4tanx+≥4,当tanx=时,等号成立.答案:C9.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为()A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8解析:令x+1=0得x1=-1;令2x+a=0得x2=-.①当-1-,即a2时,-4-f(x)=其图象如图所示,则fmin(x)=f=-+a-1=3,解得a=8.②当-1-,即a2时,f(x)=其图象如图所示,则fmin(x)=f=-+1-a=3,解得a=-4.③当-1=-,即a=2时,f(x)=3|x+1|≥0,不符合题意.综上所述,a=-4或8.答案:D10.若a,b,x,y∈R,则成立的()-5-A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若由②知,x-a与y-b同号;又由①,得(x-a)+(y-b)0.∴x-a0,y-b0,即xa且yb.故充分性成立.若故必要性也成立.故选C.答案:C11.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,≤1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即k+1,则当n=k+1时,===(k+1)+1.所以当n=k+1时不等式成立.-6-上述证法()A.过程全部正确B.n=1的验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:从n=k到n=k+1,没有用到归纳假设.答案:D12.设mn,n∈N+,a=(lgx)m+(lgx)-m,b=(lgx)n+(lgx)-n,x1,则a与b的大小关系为()A.a≥bB.a≤bC.与x值有关,大小不确定D.以上都不正确解析:a-b=(lgx)m+(lgx)-m-(lgx)n-(lgx)-n====,∵x1,∴lgx0.当0lgx1时,ab;当lgx=1时,a=b;当lgx1时,ab.∴a≥b.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)-7-13.在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n19且n∈N+)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式成立.答案:a1a2…an=a1a2…a17-n(n17且n∈N+)14.若正实数a与b满足a+b=1,则的最大值为.答案:15.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.解析:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的最小值为,故原不等式恒成立转化为a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,即(a+1)≤0,解得a∈.答案:16.不等式|2x+1|-2|x-1|0的解集为.解析:对于不等式|2x+1|-2|x-1|0,分三种情况讨论:①当x-时,-2x-1-2(-x+1)0,即-30,故x不存在;②当-≤x≤1时,2x+1-2(-x+1)0,即x,故x≤1;③当x1时,2x+1-2(x-1)0,即30,故x1.综上可知,不等式的解集是.-8-答案:三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)设a,b,c是不全相等的正数,证明a2+b2+c2ab+bc+ca.解：证明:∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,且三个式子不能同时取等号,∴2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2ab+bc+ac成立.18.(12分)已知n∈N,n≥2,证明+…+1.解析:用放缩法证明.解：证明:∵+…++…+;而+…++…+=1,∴+…+1成立.19.(12分)解不等式|3-x|+|x+4|8.解：解法一:原不等式⇔或或∴x,或x-.∴原不等式的解集为.-9-解法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-80,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=作出函数的图象,如下图.从图象可知,当x,或x-时,y0,故原不等式的解集为.20.(12分)已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1.求证:+…+.分析:已知条件中a1+a2+…+an=1,可以看作“1”的代换,而要证的不等式的左侧“数式”已经可以看出来,为,…,所以a1+a2+…+an=1应扩大2倍后再利用,本题还可以利用其他的方法证明.解：证法一:根据柯西不等式,得左边=+…+=[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)+(an+a1)]×-10-+…+=[()2+()2+…+()2+()2]×+…+≥+…+=(a1+a2+…+an)2×=右边.故原不等式成立.证法二:若a∈R+,则a+≥2,a≥2-.利用上面的结论,知≥=a1-.同理,有≥a2-,…,≥an-1-≥an-.以上式子相加整理,得+…+≥(a1+a2+…+an)=.21.(13分)制造一个能盛放108千克水的无盖长方体形水箱,问如何选择尺寸,才能使用料最省?-11-解析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.解:设长方体的长、宽为a,b(分米),高为h(分米),易知该水箱的容积为108立方分米,即abh=108,设该水箱的用料面积为S,则S=ab+2(ah+bh)=ab+2ah+2bh≥3=3=108,即S≥108(平方分米).当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时,等号成立.故水箱是底面边长为6分米的正方形,高为3分米的长方体时用料最省.22.(13分)已知点的序列An(xn,0),n∈N+,其中x1=0,x2=a(a0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中点,….(1)写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式(n≥3);(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明.解:(1)当n≥3时,xn=.(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=-x2=-(x2-x1)=-a,a3=x4-x3=-x3=-(x3-x2)=-a.-12-由此推测an=a(n∈N+).用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=x2-x1=a=a,通项公式成立.②假设当n=k时,ak=a成立.那么当n=k+1时,ak+1=xk+2-xk+1=-xk+1=-(xk+1-xk)=-ak=-a=a,通项公式成立.由①②知,an=a(n∈N+)成立.-13-