2018-2019学年高中数学 回扣验收特训（二）推理与证明（含解析）北师大版选修1-2

1回扣验收特训（二）推理与证明1．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的大前提是()A．增函数的定义B．函数y＝x3满足增函数的定义C．若x1x2，则f(x1)f(x2)D．若x1x2，则f(x1)f(x2)解析：选A根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y＝x3是增函数的大前提应是增函数的定义．2．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－2B．an＝n2C．an＝3n－1D．an＝4n－3解析：选B求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.3．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.xa＋yb＋zc＝1B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1D．ax＋by＋cz＝1解析：选A类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是()A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英2C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则AOOM＝()A．1B．2C．3D．4解析：选C如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝63，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4×13×34r＝13×34×63⇒r＝612，故AO＝AM－MO＝63－612＝64，故AO∶OM＝64∶612＝3.7．观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×R＋r2.所以圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×R＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0rd)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．解析：平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的3旋转体的体积等于以半径为r的圆为底面，以圆心为O、半径为d的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.答案：2π2r2d9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是.解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，所以S7＝2×72－7＝91.答案：9110．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x＋y|≤|1＋xy|.证明：要证|x＋y|≤|1＋xy|，即证(x＋y)2≤(1＋xy)2，即证x2＋y2≤1＋x2y2，即证(x2－1)(1－y2)≤0，因为|x|≤1，|y|≤1，所以x2－1≤0,1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．11．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝32，(*)并给出(*)式的证明．解：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝32.证明如下：4左边＝12(1－cos2α)＋12[1－cos(2α＋120°)]＋12[1－cos(2α＋240°)]＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝32－12[cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°]＝32－12cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α＝32＝右边．∴原式得证．12．设函数f(x)＝exlnx＋2ex－1x，证明：f(x)1.证明：由题意知f(x)1等价于xlnxxe－x－2e.设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx.所以当x∈0，1e时，g′(x)0；当x∈1e，＋∞时，g′(x)0.故g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g1e＝－1e.设函数h(x)＝xe－x－2e，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0,1)时，h′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.5