教辅-高考数学大二轮专题复习：立体几何与空间向量之空间几何体的表面积与体积

专题五立体几何与空间向量第二编讲专题第1讲空间几何体的表面积与体积「考情研析」1.从具体内容上，主要考查：①空间几何体的几何量(线段长度、夹角、表面积、体积等)的计算等；②球与多面体的组合，并结合考查球的表面积和体积的计算等．2.从高考特点上，题型为选择题或填空题，难度中等．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.空间几何体的表面积(1)多面体的表面积为．(2)圆柱的表面积公式：(其中，r为底面半径，l为圆柱的高).(3)圆锥的表面积公式：(其中圆锥的底面半径为r，母线长为l).(4)圆台的表面积公式：(其中圆台的上、下底面半径分别为r′和r，母线长为l).(5)球的表面积公式：(其中球的半径为R).□01各个面的面积的和□02S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)□03S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)□04S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)□05S＝4πR2核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．空间几何体的体积(1)V柱体＝(S为底面面积，h为高).(2)V锥体＝(S为底面面积，h为高).(3)V圆台＝(其中S′，S分别为上、下底面面积，h为高).(4)V球＝(其中R为球的半径).□01Sh□0213Sh□0313(S′＋S′S＋S)h□0443πR32热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1空间几何体的表面积与体积例1(1)若圆锥的侧面展开图是半径为l的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积的比值是()A．32B．2C．43D．53答案A解析设该圆锥的底面半径为r，由题意可得其母线长为l，且2πr＝πl，所以l＝2r，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比值是(πrl＋πr2)∶πrl＝3πr2∶2πr2＝3∶2，故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·河南省百校联盟6月质监考试)如图，用平行于母线的竖直平面截一个圆柱，得到底面为弓形的圆柱体的一部分，其中M，N为弧EF︵，GH︵的中点，∠EMF＝120°，且33EF＋EG＝6，当所得几何体的体积最大值时，该几何体的高为________．答案2核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析过M作MT⊥EF于T，设MT＝x，则ET＝TF＝3x，设O为EF︵所在扇形的圆心，R为扇形半径，又OE＝OM＝OF＝R，∠EMO＝∠FMO＝12∠EMF＝60°，所以△EMO与△FMO为等边三角形，所以∠EOT＝∠FOT＝60°，则∠EOF＝∠EOT＋∠FOT＝120°，所以OT＝R2，则MT＝OM－OT＝R2＝x，即R＝2x.所得几何体的底面积为S＝S扇形OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝4π3－3x2.又33EF＋EG＝6，所以所得几何体的高EG＝6－2x，所以V＝S×EG＝8π3－23(－x3＋3x2)，其中0x3.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0，3)，则由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2.列表如下：x(0，2)2(2，3)f′(x)＋0－f(x)增函数极大值减函数所以当x＝2时，f(x)取得最大值，此时该几何体的高EG＝2.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．已知圆锥的底面半径为2，高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时，该圆柱的体积为()A．πB．2πC．3πD．4π答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，其中0r2.由题意可知△AO1D∽△AO2C，则有AO1O1D＝AO2O2C＝2，所以AO1＝2r，则圆柱的高h＝4－2r，圆柱的侧面积S＝2πr(4－2r)＝4π(－r2＋2r)＝4π，整理得r2－2r＋1＝0，解得r＝1.当r＝1时，h＝2，所以该圆柱的体积V＝πr2h＝2π.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．如图，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的表面积为________________，体积为________．14＋62＋66核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图，过点C作CM平行于AB，交AD于点M，作CN平行于BE，交EF于点N，连接MN.由题意可知四边形ABCM，BENC都是矩形，AM＝DM＝2，CN＝2，FN＝1，AB＝CM＝22，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业所以S△AEB＝12×2×2＝2，S梯形ABCD＝12×(2＋4)×22＝62，S梯形BEFC＝12×(2＋3)×2＝5，S梯形AEFD＝12×(3＋4)×2＝7，在直角三角形CMD中，CM＝22，MD＝2，所以CD＝23.又因为DF＝FC＝5，所以S△DFC＝12×23×2＝6，所以这个几何体的表面积为2＋62＋5＋7＋6＝14＋62＋6.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解法一：因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE－MCN和四棱锥C－MNFD，又因为直三棱柱ABE－MCN的体积为V1＝S△ABE·AM＝12×2×2×2＝4，四棱锥C－MNFD的体积为V2＝13S四边形MNFD·BE＝13×12×(1＋2)×2×2＝2，所以所求几何体的体积为V1＋V2＝6.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解法二：如图，连接AC，EC，则几何体分割为四棱锥C－ADFE和三棱锥C－ABE，因为VC－ADFE＝13×3＋42×2×2＝143，VC－ABE＝13×12×2×2×2＝43，所以所求几何体的体积为VC－ADFE＋VC－ABE＝143＋43＝6.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解法三：如图，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABE－DMN，所以几何体的体积等于直三棱柱ABE－DMN的体积减去四棱锥D－CMNF的体积．因为VABE－DMN＝12×2×2×4＝8，VD－CMNF＝13×1＋22×2×2＝2，所以所求几何体的体积为VABE－DMN－VD－CMNF＝8－2＝6.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2多面体与球例2(1)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A．4πB．16πC．36πD．64π3答案C解析设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，则圆柱的表面积S＝S底＋S侧＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3.∴圆柱的体积为V＝πR2×2R＝54π，∴该圆柱的内切球的体积为23×54π＝36π.故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·广东省广州市一模)在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S－ABC外接球的表面积是________．答案20π3核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD.设E为△ABC的中心，F为△SBC的中心，O为三棱锥S－ABC外接球的球心．连接OE，OF，OA，则OA为三棱锥S－ABC外接球的半径，四边形OEDF为矩形．∴OA＝OE2＋AE2＝13×32＋23×32＝153.∴三棱锥S－ABC外接球的表面积＝4π×1532＝20π3.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业多面体与球切、接问题的求解方法(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·湖南省顶级名校高三5月联考)如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF＝22，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．答案36π核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意，得底面ABCD是边长为4的正方形，cos∠PEF＝22，故高PO1为2.易知正四棱锥P－ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，则AO1＝22，PO＝AO＝R，PO1＝2，OO1＝2－R或OO1＝R－2(此时O在PO1的延长线上)，在直角△AO1O中，R2＝AO21＋OO21＝(22)2＋(2－R)2，解得R＝3，所以球的体积为V＝43πR3＝4π3×33＝36π.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·山东省青岛市高三期中)已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球与内切球的半径比为________．答案33＋32核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，由PA＝PB＝PC＝2，可知此长方体即为正方体．设外接球的半径为R，则R＝4＋4＋42＝3，设内切球的半径为r，则内切球的球心到四个面的距离均为r，由13(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝13·S△PCB·AP，解得r＝23＋3，所以Rr＝323＋3＝33＋32.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3真题VS押题PARTTHREE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业『真题检验』1．(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A．5－14B．5－12C．5＋14D．5＋12答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝PE2－OE2＝b2－a24，由题意，得PO2＝12ab，即b2－a2