2018-2019学年八年级数学上册 第七章 平行线的证明 7.5 三角形内角和定理（第2课时）同步

17.5三角形内角和定理第二课时知能演练提升ZHINENGYANLIANTISHENG能力提升1.如图,a∥b,∠1=65°,∠2=140°,则∠3等于()A.100°B.105°C.110°D.115°2.将一副直角三角尺如图放置,使含30°角的三角尺的直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合,则∠1的度数为()A.60°B.75°C.65°D.70°3.一副三角尺有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是()A.165°B.120°C.150°D.135°(第3题图)2(第4题图)4.如图,平面上直线a,b分别过线段OK两端点(数据如图),则a,b相交所成的锐角是()A.20°B.30°C.70°D.80°5.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,延长BC到点D,则∠ACD=.(第5题图)(第6题图)6.如图,∠1=30°,∠B=60°,∠C=20°,则∠2=,∠A=.7.如图,已知∠AOB=α,在射线OA,OB上分别取点A1,B1,使OA1=OB1,连接A1B1,在B1A1,B1B上分别取点A2,B2,使B1B2=B1A2,连接A2B2……按此规律下去,记∠A2B1B2=θ1,∠A3B2B3=θ2,…,∠An+1BnBn+1=θn,则(1)θ1=;(2)θn=.8.3如图,∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角.你能猜测这三个角的和等于多少度吗?并证明你的结论.9.已知,如图,∠ACE是△ABC的一个外角,∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,若∠A=80°,求∠D的度数.4创新应用10.阅读理解如图①,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分……将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合.无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC是△ABC的好角.小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:如图②,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;情形二:如图③,沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.5探究发现(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?(填“是”或“不是”).(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B∠C)之间的等量关系.根据以上内容猜想:若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B∠C)之间的等量关系为.应用提升(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°,60°,105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.答案：能力提升1.B把图中的线适当延长,如图.∵∠1=65°,∠2=140°(已知),∴∠4=75°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又a∥b(已知),6∴∠3=180°-∠4=180°-75°=105°(两直线平行,同旁内角互补).2.B3.A如图,∵∠2=90°-30°=60°(余角的定义),∴∠1=∠2-45°=15°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴∠α=180°-∠1=165°(补角的定义).4.B设a,b相交所成的锐角为α,则∠α=100°-70°=30°.5.80°∵∠A=30°,∠B=50°(已知),∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).6.50°70°∠2=∠FEC+∠C=∠1+∠C=30°+20°=50°.∴∠A=180°-∠B-∠2=180°-50°-60°=70°.7.(1)180°2(2)(2-1180°2由等腰三角形的性质,可解得∠OA1B1=180°-2,再根据三角形外角和定理,得θ1=180°2.同理,可推得θ2=3180°22,θ3=7180°23,…,θn=(2-1180°2.8.解∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明如下:∵∠BAF=∠2+∠3,∠CBD=∠1+∠3,∠ACE=∠1+∠2(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质).∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理),∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°(等量代换).9.解∵BD是∠ABC的平分线(已知),∴∠DBC=12∠ABC(角平分线的定义).∵CD是∠ACE的平分线(已知),7∴∠DCE=12∠ACE(角平分线的定义).∵∠ACE是△ABC的外角,∠DCE是△BCD的外角(外角的定义),∴∠D=∠DCE-∠DBC=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A=12×80°=40°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).创新应用10.解(1)是(2)∵经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角,∴第三次折叠的∠A2B2C=∠C.如图所示.∵∠ABB1=∠AA1B1,∠AA1B1=∠A1B1C+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),又∠A1B1C=∠A1A2B2,∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∴∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C(等量代换).∠B=n∠C由上面的探索发现,若∠BAC是△ABC的好角,折叠一次重合,有∠B=∠C;折叠二次重合,有∠B=2∠C;折叠三次重合,有∠B=3∠C……由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B=n∠C.(3)∵最小角4°是△ABC的好角,∴根据好角定义,则可设另外两角的度数分别为4m°,4mn°(其中m,n都是正整数).由题意,得4m+4mn+4=180,∴m(n+1)=44.∵m,n都是正整数,∴m与n+1是44的整数因子,因此有m=1,n+1=44;m=2,n+1=22;m=4,n+1=11;m=11,n+1=4;m=22,n+1=2.∴m=1,n=43;m=2,n=21;m=4,n=10;m=11,n=3;m=22,n=1.∴4m=4,4mn=172;4m=8,4mn=168;4m=16,4mn=160;4m=44,4mn=132;4m=88,4mn=88.8∴该三角形的另外两个角的度数分别为4°,172°;8°,168°;16°,160°;44°,132°;88°,88°.