2018-2019学年九年级数学下册 第1章 二次函数本章总结提升练习 （新版）湘教版

1二次函数本章总结提升问题1抛物线的平移抛物线y＝ax2经过怎样的平移可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k?例1将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则得到的抛物线的函数表达式为()A．y＝3(x＋2)2＋3B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3D．y＝3(x－2)2－3【归纳总结】任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如下：图1－T－12问题2二次函数的图象和性质结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值．例2已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a的值；(2)求出抛物线的顶点坐标与对称轴；(3)若点A(2，y1)，B(4，y2)，C(0，y3)都在该抛物线上，试比较y1，y2，y3的大小．【归纳总结】二次函数的图象与性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是－b2a，4ac－b24a，对称轴为直线x＝－b2a，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象具有如下性质：(1)当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)开口向上，x＜－b2a时，y随x的增大而减小；x＞－b2a时，y随x的增大而增大；x＝－b2a时，y取得最小值4ac－b24a，即顶点是抛物线的最低点．(2)当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)开口向下，x＜－b2a时，y随x的增大而增大；x＞－b2a时，y随x的增大而减小；x＝－b2a时，y取得最大值4ac－b24a，即顶点是抛物线的最高点．(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可由抛物线y＝ax2向右或向左平移－b2a个单位，再向上或向下平移4ac－b24a个单位得到．例3图1－T－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，对称轴为直线x＝12，且图象经过点(2，0)．下列说法：①abc0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c0；④若(－2，y1)，(52，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说法正确的是()3图1－T－2A．①②④B．③④C．①③④D．①②【归纳总结】y＝ax2＋bx＋c(a≠0)字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab＞0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0与x轴有两个相同的交点(顶点)b2－4ac＞0与x轴有两个不同的交点b2－4ac＜0与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c；若a＋b＋c＞0，则当x＝1时，y＞0；若a－b＋c＞0，则当x＝－1时，y＞0问题3用待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的表达式，设函数表达式的方法有哪些？例4根据下列条件分别求二次函数的表达式：(1)已知二次函数的图象经过点A(－1，－6)，B(1，－2)，C(2，3)；(2)已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－3)，且与y轴的交点坐标为(0，－5)；(3)已知二次函数的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(1，0)，且经过点M(0，1)．4【归纳总结】用待定系数法求二次函数表达式的方法：(1)已知图象过三点，设y＝ax2＋bx＋c，代入三点坐标得三元一次方程组求解；(2)已知图象的顶点及图象上另一点，设y＝a(x－h)2＋k，将另一点的坐标代入求解；(3)已知抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，且过另一点，设y＝a(x－x1)(x－x2)，将另一点的坐标代入求解．问题4二次函数与一元二次方程的关系结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系，说明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况．例5已知抛物线y＝(m－1)x2－m2x＋32m的对称轴是直线x＝2.(1)求m的值，并判断抛物线的开口方向；(2)抛物线是否与x轴相交？如果相交，试求出其交点的坐标．【归纳总结】判断函数图象与x轴是否相交，先要从函数类型上分情况考虑：(1)一次函数的图象必与x轴相交．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的相交情况与对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ有关．Δ0，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；Δ＝0，二次函数的图象与x轴有两个相同的交点；Δ0，二次函数的图象与x轴没有交点．问题5二次函数与几何的综合数形结合思想在二次函数的应用中是怎样体现的？例6如图1－T－3所示，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的函数表达式．(2)M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使由A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1－T－3【归纳总结】二次函数与几何图形的综合：二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合，考查以下几类问题：5(1)线段数量关系、最值问题；(2)面积数量关系、最值问题；(3)存在性问题：包含特殊三角形、特殊四边形等．问题6二次函数的实际应用在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值问题．请举例说明如何分析、解决这样的问题．例72017·本溪近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择．本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y(辆)与每辆车每天的租金x(元)满足关系式y＝－150x＋36(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)，公司每天为每辆租出的车支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元．(1)求w与x的函数表达式；(利润＝租金－支出)(2)公司在十一黄金周的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？【归纳总结】二次函数的实际应用：常见类型步骤抛物线形状类①建立平面直角坐标系；②利用点的坐标确定抛物线的函数表达式；③利用二次函数的性质解决实际问题商品销售类①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；②确定函数表达式；③确定二次函数的最值，解决实际问题几何类①根据几何知识探求图形的几何(面积、长度等)关系式；②根据几何关系式确定函数表达式；③确定二次函数的最值，解决问题注意：(1)当题目中没有给出坐标系时，选取的坐标系不同，所得函数表达式也不同；(2)在求二次函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响；(3)建立函数模型解决实际问题时，若题目中没有明确函数类型，要对求出的函数表达式进行验证，以防出现错解．6教师详解详析【整合提升】例1A例2解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)，∴－2＝a(1－3)2＋2，解得a＝－1.(2)由抛物线y＝a(x－3)2＋2可知抛物线的顶点坐标是(3，2)，对称轴是直线x＝3.(3)∵a＝－1，∴抛物线开口向下．∵抛物线的对称轴是直线x＝3，且|4－3|＜|3－2|＜|3－0|，∴点B(4，y2)到对称轴的距离最近，点C(0，y3)到对称轴的距离最远，∴y3＜y1＜y2.例3A例4[解析]根据已知条件，(1)选用一般式比较方便；(2)选用顶点式比较方便；(3)选用交点式比较方便．解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将(－1，－6)，(1，－2)，(2，3)分别代入，得a－b＋c＝－6，a＋b＋c＝－2，4a＋2b＋c＝3，解得a＝1，b＝2，c＝－5，∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5.(2)∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－3)，∴设其函数表达式为y＝a(x＋1)2－3.将(0，－5)代入，得－5＝a(0＋1)2－3，∴a＝－2，∴所求二次函数的表达式为y＝－2(x＋1)2－3，即y＝－2x2－4x－5.(3)已知二次函数的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(1，0)，∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．将M(0，1)代入上式，得1＝a(0＋1)×(0－1)，∴a＝－1，∴二次函数的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.例5[解析](1)在y＝(m－1)x2－m2x＋32m中，a＝m－1，b＝－m2，c＝32m.根据二次函数的图象的对称轴是直线x＝－b2a可求得m；(2)求得表达式后，令y＝0，解关于x的一元二次方程可知有没有交点，若有，则方程的解为交点的横坐标．解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x＝2，∴－－m22（m－1）＝2，即m2－4m＋4＝0，解得m＝2，经检验m＝2是分式方程的根，且m－1≠0，∴m＝2符合题意．∵m－10，7∴抛物线开口向上．(2)将m＝2代入y＝(m－1)x2－m2x＋32m，得y＝x2－4x＋3.令y＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.∴抛物线与x轴相交，交点坐标分别为(1，0)，(3，0)．例6解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.根据题意，得a－b＋c＝0，25a＋5b＋c＝0，c＝－52，解得a＝12，b＝－2，c＝－52.∴抛物线的函数表达式为y＝12x2－2x－52.(2)存在．理由如下：①当点N在x轴的下方时，如图所示．∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴直线x＝2对称．∵点C的坐标为(0，－52)，∴点N的坐标为(4，－52)．②当点N′在x轴上方时，如图所示，过点N′作N′H⊥x轴于点H.∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠CAO＝∠N′M′H，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC.∵点C的坐标为(0，－52)，∴N′H＝52，即点N′的纵坐标为52，令12x2－2x－52＝52，解得x1＝2＋14，x2＝2－14，∴点N′的坐标为(2－14，52)或(2＋14，52)．8综上所述，满足题目条件的点N共有三个，其坐标分别为(4，－52)，(2－14，52)和(2＋14，52)．例7解：(1)由题意，得w＝(x－200)y＝(x－200)(－150x＋36)＝－150x2＋40x－7200(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)．(2)w＝－150x2＋40x－7200＝－150(x－1000)2＋12800(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)．∵－150＜0，w有最大值，∴当x＝1000时，w的最大值为12800.由题可得，后4天时500≤x≤800.∵当x＜1000时，w随着x的增大而增大，∴当x＝800时，w的最大值为12000，∴获得的总利润为3×12800＋4×12000＝86400(元)．答：这7天公司获得的总利润最多为86400元．【专题阅读】二次函数的最值一、从鸡舍问题谈起某饲养场有20米长的一段木栅栏，现在要用它来围一个矩形的鸡圈，一边可利用房屋的墙，问应该怎样围，方可使鸡圈的面积最大？若设垂直于墙的一边长为x米，则它的邻边长为(20－2x)米(如图1)，于是鸡圈的面积为y＝x(20－2x)＝(－2x2＋20x)平方米．图1问题归结为x取何值时，y取最大值．一般来说，对于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，①求它的最大值和最小值，在数学中是经常碰到的．我们用配方法把二次函数写成②的形式并画出图象如图2.y＝ax＋b2a2＋4ac－b24a.②由(a)的图象可以看出：图2若a＞0，则当x＝－b2a时，y取最小值4ac－b24a，而无最大值，记最小值为ymin＝4ac－b24a；由(b)的图象可以看出：若a＜0，则当x＝－b2a时，y取最大值4ac－b24a，而无最小值，记最9大值为ymax＝4ac－b24a.利用上述结论即可求出鸡圈面积的最大值．在表示鸡圈问题的二次函数表达式中，a＝－2，b＝20，c＝0.因为