3.3.2-函数的极值与导数(2)

预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数高中数学·选修1-1·人教A版3．3.2函数的极值与导数(2)预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数[学习目标]1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．预习导学预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？预习导学预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数答：以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.预习导学预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数1．极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值预习导学预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．预习导学f′(x)＜0f′(x)＞0预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧，右侧，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．、统称为极值点，和统称为极值．预习导学f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极小值点极大值极小值预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数2．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是．预习导学极大值极小值预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数课堂讲义要点一求函数的极值例1求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值．解函数的定义域为R.f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝－2x－1x＋1x2＋12.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：课堂讲义x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数课堂讲义跟踪演练1求函数f(x)＝3x＋3lnx的极值．解函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2.令f′(x)＝0，得x＝1.预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数课堂讲义当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)3因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数要点二利用函数极值确定参数的值例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数课堂讲义解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得－2b3a＝0，①c3a＝－1②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数课堂讲义(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)，当x－1或x1时，f′(x)0，当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数规律方法(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数跟踪演练2已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．课堂讲义解因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以f′－1＝0，f－1＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.解之得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.变式．(12分)已知函数32()fxxaxbxc在23x与1x时都取得极值.(1)求,ab的值；预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数要点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．课堂讲义解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数课堂讲义所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．课堂讲义(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数跟踪演练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.课堂讲义预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数课堂讲义要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k0或－4＋k0(如图所示)即k－4或k4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数1、函数1)(3xaxxf有极值的充要条件是（）A.0aB.0aC.0aD.0a2．函数32()6(,)fxaxxx+在上既有极大值又有极小值，则a的取值范围为（）(A)0a(B)0a(C)13a(D)31a3.函数)0(3)(3abaxxxf的极大值为6,极小值为2,则)(xf的减区间（）A.（-1，1）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-2，-1）预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数1．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1a2B．－3a6C．a－1或a2D．a－3或a64．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为_______．预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数1．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案D解析由极值的概念可知只有D正确．当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数答案C解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1a2B．－3a6C．a－1或a2D．a－3或a6答案D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)0，解得a6或a－3.当堂检测预习导学课堂讲义当堂检测3．3.2函数的极值与导数4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1