08届高中毕业班理科数学质量检查试题

08届高中毕业班理科数学质量检查试题数学(理科)试题本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=knkkn)p(pC1．球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径．球的体积公式V=34πR3，其中R表示球的半径．第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内．1．复数i(1一i)等于()A．1+iB．1一iC．一1+iD．一1一i2．设全集为R，A={x|—1＜x＜1}，B={x|x≥0}，则CR(A∪B)等于()A．{x|0≤x＜1}B．{x|x≥0}C．{x|x≤-1}D．{x|x＞-1}3．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为()ξ4a9P0.50.1bA．5B．6C．7D．84．已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB=3，∠AOB=120°，则球的体积为()A．29πB．π34C．36πD．π3325．已知条件p:k=3，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知数列na的前n项和为Sn，且Sn是an。与1的等差中项，则an等于()A．1B．-1C．(-1)nD．(-1)n-17．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是()A．若m∥α，nα，则m∥nB．若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α8．函数y=Asin(ωx+φ)的周期为2π，其图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成()A．)x(f=sin(2—2x)B．)x(f=sin(2x一2)C．)x(f=sin(x一1)D．)x(f=sin(1一x)9．已知函数y=f(x+1)的图象关于点(-1，0)成中心对称，则函数y=f(x)一定是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数lO．已知),x(xx),x()x(fx0340321则方程f(x)=2的实数根的个数是()A．0B．1C．2D．311．某学校开设10门选修课程，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程．学校规定每位学生应选修4门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法种数是()A．50B．100C．11OD．11512．若函数f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(2)=0，则x)x(f)x(f＜0的解集为()A．(-2,0)∪(0,2)B．(-∞，-2)∪(0,2)C．(-∞，-2)∪(2，+∞)D．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．13．二项式(21xx)6的展开式中，常数项为_____________.14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____．15．已知向量a=(1，1)，b=(sinx，-cosx)，x∈(0，π)，若a∥b，则x的值是_______．16．阅读下面材料，并回答问题：设D和D1是两个平面区域，且D1D．在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=的面积的面积DD1.已知有序实数对(a，b)满足a∈[O，3]，b∈[0，2]，则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实数根的概率是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)(I)求f(8π3)的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．18．(本小题满分12分)在数列na中，a1=1，an+1=1nnaca(c为常数，n∈N*)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列．(I)求证：数列na1是等差数列；(Ⅱ)求c的值；(Ⅲ)设bn=anan+1，数列nb的前n项和为Sn，求limnxS．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AA1，和CC1的中点．(I)求证：EF∥平面ACD，；(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角；(Ⅲ)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．(I)写出υ关于ω的函数关系式；(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(Ⅲ)试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率=原有价值现有价值原有价值×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)21．(本小题满分12分)已知定点A(a，O)(a0)，B为x轴负半轴上的动点．以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上．(I)求动点D的轨迹E的方程；(Ⅱ)过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R(-a，0)，问当l绕点A转动时，∠PRQ是否可以为钝角?请给出结论，并加以证明．22．(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值．(I)求实数a的值；(Ⅱ)若关于x的方程，f(x)=bx25在区间[O，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；(Ⅲ)证明：对任意的正整数n，不等式ln211nnnn都成立．数学(理科)试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．A2．C3．C4．B5．A6．D7．B8．D9．A10．D11．D12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分。满分16分．13．15；14．22；15．43π；16．32三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分．解：1cos21()sin222xfxx……………………………………………………(4分)2221(sin2cos2)222221sin(2)242xxx………………………………………(6分)3211(I)()sin8222f…………………………………………………(8分)(II)222242kxk令…………………………………………(10分)322244kxk即3()88kxkkZ时，f(x)单调递增.∴f(x)单调递增区间为[38k，38k]()kZ……………………(12分)18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方法；考查推理与运算能力．满分12分．解法一：(I)11nnnaaca，且a1=1，显然an≠011111nnnnncacaaaa，又c为常数，∴数列1na是等差数列.………………………………………………(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，111(1)1(1)nncncaa……………………………(5分)125111,,.114aaacc又∵a1，a2，a5成等比数列，211()114cc，解得c=0或c=2.(7分)当c=0时，an+1=an，不合题意，舍去.∴c=2.……………………………………………………………………(8分)(Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2，∴1.21nan…………………………………………(9分)11111().(21)(21)22121nnnbaannnn…………(10分)111111[(1)()()]23352121nSnn11(1).221n……………………………………………………(11分)1lim.2nxS.…………………………………………………………(12分)解法二：(Ⅰ)11nnnaaca，且a1=1，显然an≠01111nnnncacaaa，……………………………………………(2分)111nncaa，又c为常数，∴数列1na是等差数列……………………………………………(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)解法同解法一.19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．解法一：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2)、F(0，2，1)．…………(2分)(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是1DB=(2，2，2).…………………(4分)又∵EF=(-1,2，-1)，由EF·1DB=-2+4-2=0，∴EF⊥1DB，而EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1……………………………………………………(6分)(Ⅱ)∵AB=(0,2，0)，cosEF,AB=463||||26EFABEFAB∴异面直线EF与AB所成的角为arccos36……………………(8分).(Ⅲ)设点P(2，2，t)(0t≤2)，平面ACP的一个法向量为n=(x，y，z)，则0,0.nACnAP∵AP=(0，2，t),AC=(-2，2，0)，∴220,20,xyytz取2(1,1,)nt.易知平面ABC的一个法向量1(0,0,2)BB，依题意知，1BB，n=30°或1BB，n=150°，∴|cos1BB，n|=24||32422tt………………………(10分)即22434(2)4tt，解得6.3t∵6(0,2]3，∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为63时，二面角P-AC-B的大小为30°.……………………………(12分)解法二：(Ⅰ)同解法一知EF=(-1,2，-1)，1AD=(-2,0，2)，AC=(-2,2，0)，∴AC-1AD=EF，∴EF、AC、1AD共面.又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.……………………………(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．解法三：(Ⅰ)取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1中，EK∥AA1，且EK=12AA1，∵FC=12CC1，CC1∥AA1，∴FCEK，∴四边形EKCF为平行四边形，∴EF∥CK．又∵CK平面ACD1，EF平面ACD1，∴EF∥