高考数学-云师堂2.2

2.2函数与方程及函数的应用专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2013全国Ⅱ,理10)(2014全国Ⅰ,理11)(2014全国Ⅱ,理15)选择题填空题高考对函数与方程及函数的应用的考查,主要侧重于函数的零点,常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体;考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围;函数的实际应用常以实际生活为背景,与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.1.关于零点问题,要学会分析转化,能够把与之有关的不同形式的问题,化归为适当方程的零点问题.2.函数模型的实际应用问题,主要抓好常见函数模型的训练,重点放在信息整理与建模.专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三函数零点的求解与判定【思考】确定函数零点的常用方法有哪些?例1设函数f(x)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,𝑥≤0,2,𝑥0.若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为.答案解析解析关闭(方法一)由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得16-4𝑏+𝑐=𝑐,4-2𝑏+𝑐=-2,解得𝑏=4,𝑐=2.即f(x)=𝑥2+4𝑥+2,𝑥≤0,2,𝑥0.∵方程f(x)=x等价于𝑥0,𝑥=𝑓(𝑥)=2或𝑥≤0,𝑥2+4𝑥+2=𝑥,即x=2或𝑥≤0,𝑥2+3𝑥+2=0.∴x=2,x=-1或x=-2.即f(x)=x有3个解.(方法二)由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得b=4,c=2.∴f(x)=𝑥2+4𝑥+2,𝑥≤0,2,𝑥0.f(x)的图象如图.方程f(x)=x解的个数即y=f(x)与y=x图象的交点个数.由图知两图象有A,B,C3个交点,故方程有3个解.答案解析关闭3专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-题后反思确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,方程易求解时用此法;(2)零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识;(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.命题热点一命题热点二命题热点三专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-对点训练1(2015广东广州模拟)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即2x|log0.5x|-1=0的解,即|log0.5x|=12𝑥的解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数h(x)=12𝑥的图象.由图象可知,两函数图象共有2个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点.答案解析关闭B命题热点一命题热点二命题热点三专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-函数零点的应用【思考】由函数零点的存在情况如何求参数的值或取值范围?例2已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+e2𝑥(x0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.命题热点一命题热点二命题热点三专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-命题热点一命题热点二命题热点三解:(1)∵g(x)=x+e2𝑥≥2e2=2e(x0),当且仅当x=e2𝑥时取等号,∴当x=e时,g(x)有最小值2e.∴g(x)=m有零点,只需m≥2e.∴当m∈[2e,+∞)时,g(x)=m有零点.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根,则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.如图,作出函数g(x)=x+e2𝑥(x0)的大致图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,∴其对称轴为x=e,f(x)max=m-1+e2.若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,则m-1+e22e,即当m-e2+2e+1时,g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-题后反思解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.对于存在零点求参数取值范围的问题,可通过分离参数,从而转化为求函数值域问题.命题热点一命题热点二命题热点三专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练2(2015湖南高考)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.答案解析解析关闭函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2𝑥-2,𝑥≥1,2-2𝑥,𝑥1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=b的图象,由图可知,当0b2时,直线y=b与y=g(x)有两个交点.所以b的取值范围为(0,2).答案解析关闭(0,2)命题热点一命题热点二命题热点三专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-函数的实际应用【思考】应用函数模型解决实际问题的一般程序是怎样的?例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm,高为hm,体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最答案答案关闭(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又根据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=15𝑟(300-4r2),所以V(r)=πr2h=π5(300r-4r3).因为r0,又h0,可得r53,故函数V(r)的定义域为(0,53).(2)因为V(r)=π5(300r-4r3),所以V'(r)=π5(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)0,所以V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,53)时,V'(r)0,所以V(r)在(5,53)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.命题热点一命题热点二命题热点三专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思应用函数模型解决实际问题:首先,要正确理解题意,将实际问题化为数学问题;其次,利用数学知识如函数、导数、不等式(方程)解决数学问题;最后,回归到实际问题的解决上.其一般程序为读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.命题热点一命题热点二命题热点三专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-对点训练3(2015四川高考改编)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192h,在22℃的保鲜时间是48h,则该食品在33℃的保鲜时间是h.答案解析解析关闭由题意,得192=e𝑏,48=e22𝑘+𝑏,①②②①得e22k=48192,即(ek)22=14,所以(ek)11=12.当x=33℃时,y=e33k+b=(ek)33·eb=(e11k)3·eb=123×192=24(h).所以该食品在33℃的保鲜时间是24h.答案解析关闭24命题热点一命题热点二命题热点三专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳核心归纳-13-规律总结拓展演练1.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的参数的取值范围的问题时,数形结合是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式,然后构造两个函数f(x),g(x),即把方程写成f(x)=g(x)的形式,这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.2.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0),x∈[p,q]的最值问题实际上是研究函数在[p,q]上的单调性.常用方法:(1)注意是“轴动区间定”,还是“轴定区间动”,找出分类的标准;(2)利用导数知识,最值可以在端点和极值点处寻找.3.f(x)≥0在[p,q]上恒成立问题,等价于f(x)min≥0,x∈[p,q].专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳核心归纳-14-规律总结拓展演练1.(2015安徽高考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx答案解析解析关闭y=lnx既不是奇函数也不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点,不满足要求;y=sinx是奇函数不满足要求;y=cosx是偶函数,由其图象可知有无数个零点.故选D.答案解析关闭D专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳核心归纳-15-规律总结拓展演练2.函数f(x)=2x-x-2的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案解析解析关闭由f(0)=20-0-20,f(1)=2-1-20,f(2)=22-2-20,根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内.故选B.答案解析关闭B专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳核心归纳-16-规律总结拓展演练3.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是()A.y=log12xB.y=2x-1C.y=x2-12D.y=-x2答案解析解析关闭在(-1,1)内单调递增的函数只有y=2x-1,当x=0时,y=20-1=0,满足题意,故答案为B.答案解析关闭B专题二2.2函数与方程及函数的应用考情分析高频考点核心归纳核心归纳-17-规律总结拓展演练4.(2015浙江高考改编)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/平方米)分别为a,b,c,且abc.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz答案解析解析关闭不妨设x=1,y=2,z=3,a=4,b=5,c=6,选项A,ax+by+cz=4+10+18=32;选项B,az+by+cx=12+10+6=28;选项C,ay+bz+cx=8+15+6=29;选项D,ay+bx+cz=8+5+18=31,故选B.答案解析关闭B